1) Решите уравнение 2sin^2 x - 5sin x + 2 = 0.

Привет! Давай разберем это тригонометрическое уравнение.

1. Замена переменной:

Сначала сделаем замену, чтобы уравнение стало проще. Пусть y = sin x. Тогда наше уравнение примет вид:

\[ 2y^2 - 5y + 2 = 0 \]

2. Решение квадратного уравнения:

Это обычное квадратное уравнение. Найдем его корни через дискриминант (D).

D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 * 2 * 2 = 25 - 16 = 9.

Теперь найдем корни y1 и y2:

\[ y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{9}}{2 \times 2} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2 \]

\[ y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{9}}{2 \times 2} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \]

3. Обратная замена:

Теперь вернемся к нашей первоначальной переменной sin x.

У нас получилось два случая:

1. sin x = 2
2. sin x = 1/2

4. Анализ решений:

• sin x = 2: Мы знаем, что значение синуса всегда находится в пределах от -1 до 1 \(-1 \le \sin x \le 1\). Поэтому уравнение sin x = 2 не имеет решений.
• sin x = 1/2: Это уравнение имеет решения. Мы знаем, что sin(π/6) = 1/2. Общее решение для этого случая будет:

  \[ x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \quad \text{и} \quad x = \pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi k = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \], где k — любое целое число.

Ответ: Корнями уравнения являются x = π/6 + 2πk и x = 5π/6 + 2πk, где k \(\in\) \(\mathbb{Z}\).