1) Решите уравнение 2sin^2 x = sin x. 2) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [5π/2; 4π].

Решение:

1. Решение уравнения:

   Приведем уравнение к стандартному виду:

   \[ 2\sin^2 x - \sin x = 0 \]

   Вынесем \(\sin x\) за скобки:

   \[ \sin x (2\sin x - 1) = 0 \]

   Это означает, что либо \(\sin x = 0\), либо \(2\sin x - 1 = 0\).

   • Случай 1: \(\sin x = 0\)

     Корни этого уравнения: \(x = \pi k\), где \(k \in \mathbb{Z}\).

   • Случай 2: \(2\sin x - 1 = 0\)

     \(2\sin x = 1\)

     \(\sin x = \frac{1}{2}\)

     Корни этого уравнения: \(x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n\) и \(x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi m\), где \(n, m \in \mathbb{Z}\).

2. Поиск корней на отрезке [5π/2; 4π]:

   Теперь найдем корни, которые попадают в заданный отрезок.

   • Для корней \(x = \pi k\):
   • Если \(k = 3\), то \(x = 3\pi\). Это значение меньше \(5\pi/2\) (так как \(3 = 6/2\) и \(5/2 < 6/2\)).
   • Если \(k = 4\), то \(x = 4\pi\). Это значение находится в отрезке [5π/2; 4π].
   • Если \(k = 5\), то \(x = 5\pi\). Это значение больше \(4\pi\).
   • Для корней \(x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n\):
   • Если \(n = 1\), то \(x = \frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{\pi + 12\pi}{6} = \frac{13\pi}{6}\). \(13/6 \approx 2.17\). \(5/2 = 2.5\). Это значение меньше \(5\pi/2\).
   • Если \(n = 2\), то \(x = \frac{\pi}{6} + 4\pi = \frac{\pi + 24\pi}{6} = \frac{25\pi}{6}\). \(25/6 \approx 4.17\). \(4 = 24/6\). Это значение больше \(4\pi\).
   • Для корней \(x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi m\):
   • Если \(m = 1\), то \(x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi = \frac{5\pi + 12\pi}{6} = \frac{17\pi}{6}\). \(17/6 \approx 2.83\). \(5/2 = 2.5\). Это значение находится в отрезке [5π/2; 4π].
   • Если \(m = 2\), то \(x = \frac{5\pi}{6} + 4\pi = \frac{5\pi + 24\pi}{6} = \frac{29\pi}{6}\). \(29/6 \approx 4.83\). \(4 = 24/6\). Это значение больше \(4\pi\).

   Таким образом, корни, принадлежащие отрезку [5π/2; 4π], это \(4\pi\) и \(\frac{17\pi}{6}\).

Ответ: 1) \(x = \pi k\), \(x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n\), \(x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi m\), где \(k, n, m \in \mathbb{Z}\). 2) \(4\pi\), \(\frac{17\pi}{6}\).