1) Решите уравнение 2sin^2x-5sinx + 2 = 0. 2) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-7π/2; -2π]

Привет! Давай разберемся с этим уравнением вместе. Это квадратное уравнение относительно sin(x), так что мы можем решить его как обычное квадратное уравнение, заменив sin(x) на переменную, например, 't'.

1. Решение уравнения 2sin²x - 5sin x + 2 = 0

1. Замена переменной:

   Пусть t = sin x. Тогда наше уравнение примет вид:

   \[ 2t^2 - 5t + 2 = 0 \]

2. Решение квадратного уравнения:

   Найдем дискриминант (D) по формуле: D = b^2 - 4ac

   \[ D = (-5)^2 - 4 \times 2 \times 2 = 25 - 16 = 9 \]

   Теперь найдем корни уравнения t₁ и t₂:

   \[ t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

   \[ t_1 = \frac{5 - \sqrt{9}}{2 \times 2} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = 0.5 \]

   \[ t_2 = \frac{5 + \sqrt{9}}{2 \times 2} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2 \]

3. Обратная замена:

   Теперь вернемся к нашему sin x:

   sin x = 0.5 или sin x = 2.

   Мы знаем, что значение синуса может быть только в пределах от -1 до 1. Поэтому уравнение sin x = 2 не имеет решений.

   Остается решить sin x = 0.5.

4. Решение тригонометрического уравнения:

   Значение sin x = 0.5 соответствует двум сериям решений:

   \[ x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

   \[ x = \pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

2. Поиск корней на отрезке [-7π/2; -2π]

Теперь нам нужно найти, какие из этих решений попадают в заданный интервал [-7π/2; -2π]. Давайте подставим разные целые значения n и посмотрим, что получится.

1. Для первой серии: x = π/6 + 2πn

   Нам нужно, чтобы -7π/2 ≤ π/6 + 2πn ≤ -2π.

   Разделим все части неравенства на π:

   -7/2 ≤ 1/6 + 2n ≤ -2

   Вычтем 1/6 из всех частей:

   -7/2 - 1/6 ≤ 2n ≤ -2 - 1/6

   -21/6 - 1/6 ≤ 2n ≤ -12/6 - 1/6

   -22/6 ≤ 2n ≤ -13/6

   -11/3 ≤ 2n ≤ -13/6

   Разделим все на 2:

   -11/6 ≤ n ≤ -13/12

   Приблизительно: -1.83 ≤ n ≤ -1.08.

   Единственное целое число n, которое удовлетворяет этому неравенству, это n = -1.

   Подставим n = -1 в формулу:

   \[ x = \frac{\pi}{6} + 2\pi(-1) = \frac{\pi}{6} - 2\pi = \frac{\pi - 12\pi}{6} = -\frac{11\pi}{6} \]

2. Для второй серии: x = 5π/6 + 2πn

   Нам нужно, чтобы -7π/2 ≤ 5π/6 + 2πn ≤ -2π.

   Разделим все части неравенства на π:

   -7/2 ≤ 5/6 + 2n ≤ -2

   Вычтем 5/6 из всех частей:

   -7/2 - 5/6 ≤ 2n ≤ -2 - 5/6

   -21/6 - 5/6 ≤ 2n ≤ -12/6 - 5/6

   -26/6 ≤ 2n ≤ -17/6

   -13/3 ≤ 2n ≤ -17/6

   Разделим все на 2:

   -13/6 ≤ n ≤ -17/12

   Приблизительно: -2.17 ≤ n ≤ -1.42.

   Единственное целое число n, которое удовлетворяет этому неравенству, это n = -2.

   Подставим n = -2 в формулу:

   \[ x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi(-2) = \frac{5\pi}{6} - 4\pi = \frac{5\pi - 24\pi}{6} = -\frac{19\pi}{6} \]

Проверим, что оба найденных корня действительно находятся на отрезке [-7π/2; -2π]:

• -11π/6 ≈ -1.83π. Наш отрезок: [-3.5π; -2π]. -1.83π находится вне этого отрезка. Давайте проверим расчеты.

Пересчет для n = -1:

x = π/6 + 2π(-1) = π/6 - 2π = (π - 12π)/6 = -11π/6

Пересчет для n = -2:

x = 5π/6 + 2π(-2) = 5π/6 - 4π = (5π - 24π)/6 = -19π/6

Снова проверим интервал: [-7π/2; -2π]

-7π/2 = -3.5π

-2π

Для x = -11π/6:

-11/6 ≈ -1.83. Этот корень не попадает в отрезок [-3.5π; -2π].

Для x = -19π/6:

-19/6 ≈ -3.17. Этот корень попадает в отрезок [-3.5π; -2π].

Ищем другие значения n.

Для x = π/6 + 2πn:

Если n = -2:

\[ x = \frac{\pi}{6} + 2\pi(-2) = \frac{\pi}{6} - 4\pi = \frac{\pi - 24\pi}{6} = -\frac{23\pi}{6} \]

-23/6 ≈ -3.83. Этот корень не попадает в отрезок [-3.5π; -2π].

Для x = 5π/6 + 2πn:

Если n = -3:

\[ x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi(-3) = \frac{5\pi}{6} - 6\pi = \frac{5\pi - 36\pi}{6} = -\frac{31\pi}{6} \]

-31/6 ≈ -5.17. Этот корень не попадает в отрезок [-3.5π; -2π].

Давай проверим еще раз расчеты для n.

Серия 1: x = π/6 + 2πn

-3.5 ≤ 1/6 + 2n ≤ -2

-3.5 - 1/6 ≤ 2n ≤ -2 - 1/6

-3.5 - 0.166... ≤ 2n ≤ -2 - 0.166...

-3.666... ≤ 2n ≤ -2.166...

-1.833... ≤ n ≤ -1.083...

Единственное целое n = -1.

При n = -1: x = π/6 + 2π(-1) = π/6 - 2π = -11π/6. Это примерно -1.83π. Этот корень не подходит, потому что -1.83 > -2.

Серия 2: x = 5π/6 + 2πn

-3.5 ≤ 5/6 + 2n ≤ -2

-3.5 - 5/6 ≤ 2n ≤ -2 - 5/6

-3.5 - 0.833... ≤ 2n ≤ -2 - 0.833...

-4.333... ≤ 2n ≤ -2.833...

-2.166... ≤ n ≤ -1.416...

Единственное целое n = -2.

При n = -2: x = 5π/6 + 2π(-2) = 5π/6 - 4π = -19π/6. Это примерно -3.17π. Этот корень подходит, так как -3.5 ≤ -3.17 ≤ -2.

А теперь подумаем, может ли быть еще один корень из первой серии, но с другим n?

Для x = π/6 + 2πn, если n = -2, то x = π/6 - 4π = -23π/6. Это примерно -3.83π. Этот корень не подходит, потому что -3.83 < -3.5.

Что если n = -3 для первой серии?

x = π/6 + 2π(-3) = π/6 - 6π = -35π/6. Это примерно -5.83π. Этот корень не подходит.

Что если n = -3 для второй серии?

x = 5π/6 + 2π(-3) = 5π/6 - 6π = -31π/6. Это примерно -5.17π. Этот корень не подходит.

Кажется, есть одна ошибка в моих рассуждениях, давай проверим границы отрезка более точно.

-7/2 = -21/6

-2 = -12/6

Серия 1: x = π/6 + 2πn

-21/6 ≤ 1/6 + 2n ≤ -12/6

-21/6 - 1/6 ≤ 2n ≤ -12/6 - 1/6

-22/6 ≤ 2n ≤ -13/6

-11/3 ≤ n ≤ -13/12

-3.66... ≤ n ≤ -1.08...

Целые значения n: -2, -3.

При n = -2: x = π/6 + 2π(-2) = π/6 - 4π = -23π/6. Проверяем: -7π/2 = -21π/6. -23π/6 < -21π/6. Этот корень не подходит.

При n = -3: x = π/6 + 2π(-3) = π/6 - 6π = -35π/6. Этот корень не подходит.

Серия 2: x = 5π/6 + 2πn

-21/6 ≤ 5/6 + 2n ≤ -12/6

-21/6 - 5/6 ≤ 2n ≤ -12/6 - 5/6

-26/6 ≤ 2n ≤ -17/6

-13/3 ≤ n ≤ -17/12

-4.33... ≤ n ≤ -1.41...

Целые значения n: -2, -3, -4.

При n = -2: x = 5π/6 + 2π(-2) = 5π/6 - 4π = -19π/6. Проверяем: -7π/2 = -21π/6. -2π = -12π/6. -21π/6 ≤ -19π/6 ≤ -12π/6. Этот корень подходит.

При n = -3: x = 5π/6 + 2π(-3) = 5π/6 - 6π = -31π/6. Проверяем: -31π/6 < -21π/6. Этот корень не подходит.

При n = -4: x = 5π/6 + 2π(-4) = 5π/6 - 8π = -43π/6. Этот корень не подходит.

Окончательная проверка:

Первая серия: x = π/6 + 2πn

n = -1: x = -11π/6 ≈ -1.83π (не подходит)

n = -2: x = -23π/6 ≈ -3.83π (не подходит)

Вторая серия: x = 5π/6 + 2πn

n = -2: x = -19π/6 ≈ -3.17π (подходит, так как -3.5 ≤ -3.17 ≤ -2)

n = -3: x = -31π/6 ≈ -5.17π (не подходит)

Получается, только один корень попадает на отрезок.

Однако, я вижу, что граница отрезка -7π/2. Это -3.5π, что равно -21π/6.

Перепроверим Серию 1: x = π/6 + 2πn

n = -2: x = -23π/6. Это меньше, чем -21π/6. Не подходит.

n = -3: x = -35π/6. Это меньше, чем -21π/6. Не подходит.

Перепроверим Серию 2: x = 5π/6 + 2πn

n = -2: x = -19π/6. Это попадает в отрезок [-21π/6; -12π/6]. Подходит!

n = -3: x = -31π/6. Это меньше, чем -21π/6. Не подходит.

Кажется, я упустил одно значение n для первой серии, которое могло бы подойти.

Давай проверим, где -7π/2 = -3.5π

x = π/6 + 2πn

n = -1: -11π/6 ≈ -1.83π (не подходит)

n = -2: -23π/6 ≈ -3.83π (не подходит)

x = 5π/6 + 2πn

n = -2: -19π/6 ≈ -3.17π (подходит)

n = -3: -31π/6 ≈ -5.17π (не подходит)

Возможно, я ошибся при вычислении границ или значений n. Перепроверим.

Уравнение: 2sin^2x - 5sin x + 2 = 0. Корни sin x = 0.5 или sin x = 2 (не подходит).

Решения: x = π/6 + 2πn и x = 5π/6 + 2πn.

Отрезок: [-7π/2, -2π].

Значения синуса на отрезке:

-7π/2 (это -3.5π). sin(-3.5π) = sin(-3π - π/2) = sin(-π - π/2) = -sin(π/2) = -1.

-2π. sin(-2π) = 0.

Итак, на отрезке [-7π/2, -2π] синус меняется от -1 до 0.

Нас интересует sin x = 0.5. Это значение не попадает в диапазон [-1, 0].

Похоже, что на этом отрезке нет решений для уравнения sin x = 0.5.

Давайте еще раз посмотрим на интервал [-7π/2; -2π].

-7π/2 = -3.5π.

-2π.

Первая серия: x = π/6 + 2πn

n = -1: x = π/6 - 2π = -11π/6 ≈ -1.83π. Не подходит, т.к. -1.83π > -2π.

n = -2: x = π/6 - 4π = -23π/6 ≈ -3.83π. Не подходит, т.к. -3.83π < -3.5π.

Вторая серия: x = 5π/6 + 2πn

n = -2: x = 5π/6 - 4π = -19π/6 ≈ -3.17π. Подходит, так как -3.5π ≤ -3.17π ≤ -2π.

n = -3: x = 5π/6 - 6π = -31π/6 ≈ -5.17π. Не подходит, так как -5.17π < -3.5π.

Кажется, я ошибся в первоначальных рассуждениях.

Проверим значение sin(-7π/2). -7π/2 = -3.5π. sin(-3.5π) = sin(-3π - π/2) = sin(-π - π/2) = -sin(π/2) = -1.

Проверим значение sin(-2π). sin(-2π) = 0.

На отрезке [-7π/2, -2π], sin x принимает значения от -1 до 0.

Нам нужно найти x, где sin x = 0.5. Таких значений нет на данном отрезке, потому что 0.5 > 0.

Ошибка была в том, что я не учёл значения синуса на границах отрезка.

Поэтому, единственное возможное решение, которое я нашёл, это x = -19π/6, но для него sin x = 0.5, что не соответствует sin x на этом отрезке.

Проверим еще раз: x = -19π/6.

sin(-19π/6) = sin(-3π - π/6) = sin(-π - π/6) = -sin(π/6) = -1/2.

То есть, при sin x = -1/2, такие корни есть, но для sin x = 1/2 решений на этом отрезке нет.

Давайте пересчитаем корни уравнения 2sin^2x - 5sin x + 2 = 0.

t = sin x

2t^2 - 5t + 2 = 0

t1 = 2 (не подходит)

t2 = 1/2 (подходит)

Итак, sin x = 1/2.

Решения: x = π/6 + 2πn и x = 5π/6 + 2πn.

Отрезок: [-7π/2, -2π].

На этом отрезке sin x принимает значения от -1 до 0.

Значит, sin x = 1/2 не может выполняться на этом отрезке.

Вывод: решений на отрезке нет.

Ответ:

• 1) x = π/6 + 2πn, x = 5π/6 + 2πn, где n ∈ Z
• 2) Решений нет