1) Решите уравнение 3 sin^2 x = cos^2 x. 2) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [3π/2; 3π].

Решение:

1. Решение уравнения:

   Данное уравнение: 3 sin² x = cos² x.

   Разделим обе части уравнения на cos² x (при условии, что cos x ≠ 0):

   \[ \frac{3\sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} \]

   Используя тождество \(\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}\), получаем:

   \[ 3\tan^2 x = 1 \]

   \[ \tan^2 x = \frac{1}{3} \]

   Отсюда, \(\tan x = \pm\sqrt{\frac{1}{3}} = \pm\frac{1}{\sqrt{3}}\)

   Рассмотрим два случая:

   Случай 1: \(\tan x = \frac{1}{\sqrt{3}}\)

   Общее решение: \(x = \frac{\pi}{6} + \pi n\), где n — целое число.

   Случай 2: \(\tan x = -\frac{1}{\sqrt{3}}\)

   Общее решение: \(x = -\frac{\pi}{6} + \pi n\), или \(x = \frac{5\pi}{6} + \pi n\), где n — целое число.

   Объединяя оба случая, получаем:

   \[ x = \pm\frac{\pi}{6} + \pi n \]

   Проверка условия cos x ≠ 0: Значения \(x = \frac{\pi}{2} + \pi k\) не входят в полученные решения, так как для них \(\tan x\) не определен.

2. Нахождение корней на отрезке [3π/2; 3π]:

   Нам нужно найти такие значения x из множества \(x = \pm\frac{\pi}{6} + \pi n\), которые принадлежат отрезку \(\left[\frac{3\pi}{2}; 3\pi\right]\).

   Рассмотрим первое семейство решений: \(x = \frac{\pi}{6} + \pi n\)

   • При n = 1: \(x = \frac{\pi}{6} + \pi = \frac{7\pi}{6}\). Это значение меньше \(\frac{3\pi}{2}\), поэтому не подходит.
   • При n = 2: \(x = \frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{13\pi}{6}\). Проверим принадлежность отрезку: \(\frac{3\pi}{2} = \frac{9\pi}{6}\), \(3\pi = \frac{18\pi}{6}\). Таким образом, \(\frac{9\pi}{6} \leq \frac{13\pi}{6} \leq \frac{18\pi}{6}\). Этот корень подходит.
   • При n = 3: \(x = \frac{\pi}{6} + 3\pi = \frac{19\pi}{6}\). Это значение больше \(3\pi\), поэтому не подходит.

   Рассмотрим второе семейство решений: \(x = -\frac{\pi}{6} + \pi n\)

   • При n = 1: \(x = -\frac{\pi}{6} + \pi = \frac{5\pi}{6}\). Это значение меньше \(\frac{3\pi}{2}\), поэтому не подходит.
   • При n = 2: \(x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{11\pi}{6}\). Проверим принадлежность отрезку: \(\frac{3\pi}{2} = \frac{9\pi}{6}\), \(3\pi = \frac{18\pi}{6}\). Таким образом, \(\frac{9\pi}{6} \leq \frac{11\pi}{6} \leq \frac{18\pi}{6}\). Этот корень подходит.
   • При n = 3: \(x = -\frac{\pi}{6} + 3\pi = \frac{17\pi}{6}\). Проверим принадлежность отрезку: \(\frac{3\pi}{2} = \frac{9\pi}{6}\), \(3\pi = \frac{18\pi}{6}\). Таким образом, \(\frac{9\pi}{6} \leq \frac{17\pi}{6} \leq \frac{18\pi}{6}\). Этот корень подходит.
   • При n = 4: \(x = -\frac{\pi}{6} + 4\pi = \frac{23\pi}{6}\). Это значение больше \(3\pi\), поэтому не подходит.

   Таким образом, корни, принадлежащие отрезку [3π/2; 3π], это \(\frac{11\pi}{6}\), \(\frac{13\pi}{6}\) и \(\frac{17\pi}{6}\).

Ответ:

1. \(x = \pm\frac{\pi}{6} + \pi n\), где n — целое число.

2. \(\frac{11\pi}{6}, \frac{13\pi}{6}, \frac{17\pi}{6}\)