1) Решите уравнение √3 sin x = - cos x. 2) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [2π; 7π/2]. Решение.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Решение уравнения:
   Дано уравнение: $$\sqrt{3} \sin x = -\cos x$$.
   Разделим обе части уравнения на $$\cos x$$ (предполагая, что $$\cos x
   eq 0$$). Если $$\cos x = 0$$, то $$\sin x = \pm 1$$, и уравнение превращается в $$\sqrt{3} \cdot (\pm 1) = 0$$, что неверно. Следовательно, $$\cos x
   eq 0$$.
   Получаем: $$\frac{\sqrt{3} \sin x}{\cos x} = -1$$
   $$\sqrt{3} \tan x = -1$$
   $$\tan x = -\frac{1}{\sqrt{3}}$$
   Общий вид корней для уравнения $$\tan x = c$$ следующий: $$x = \arctan(c) + \pi n$$, где $$n \in \mathbb{Z}$$.
   В нашем случае $$c = -\frac{1}{\sqrt{3}}$$. Известно, что $$\arctan(-\frac{1}{\sqrt{3}}) = -\frac{\pi}{6}$$.
   Следовательно, общее решение уравнения: $$x = -\frac{\pi}{6} + \pi n$$, где $$n \in \mathbb{Z}$$.
2. Нахождение корней на отрезке [2π; 7π/2]:
   Нам нужно найти такие значения $$n$$, при которых $$2\pi \leq -\frac{\pi}{6} + \pi n \leq \frac{7\pi}{2}$$.
   Разделим все части неравенства на $$\pi$$: $$2 \leq -\frac{1}{6} + n \leq \frac{7}{2}$$.
   Прибавим $$\frac{1}{6}$$ ко всем частям неравенства:
   $$2 + \frac{1}{6} \leq n \leq \frac{7}{2} + \frac{1}{6}$$.
   Приведем к общему знаменателю:
   $$\frac{12}{6} + \frac{1}{6} \leq n \leq \frac{21}{6} + \frac{1}{6}$$.
   $$\frac{13}{6} \leq n \leq \frac{22}{6}$$.
   $$\frac{13}{6} \approx 2.17$$, $$\frac{22}{6} \approx 3.67$$.
   Целые значения $$n$$ в этом интервале: $$n=3$$.
   Подставим $$n=3$$ в формулу общего решения: $$x = -\frac{\pi}{6} + 3\pi = -\frac{\pi}{6} + \frac{18\pi}{6} = \frac{17\pi}{6}$$.
   Проверим, принадлежит ли найденный корень отрезку: $$2\pi = \frac{12\pi}{6}$$, $$\frac{7\pi}{2} = \frac{21\pi}{6}$$.
   $$\frac{12\pi}{6} \leq \frac{17\pi}{6} \leq \frac{21\pi}{6}$$. Условие выполняется.

Ответ:
1) $$x = -\frac{\pi}{6} + \pi n$$, где $$n \in \mathbb{Z}$$.
2) $$\frac{17\pi}{6}$$.