1. Решите уравнение: 4х-2=7-6(3-x) 2. Сократите дробь: 3. Упростите выражение 4. Вычислите: 5. Постройте график функции: у = 2x + 3 6. Решите систему уравнений: 7. Разложите на множители: 8. Лодка прошла 3 часа против течения реки и 2 часа по течению реки, проплыв за это время 32 км. Скорость течения реки 3 км/ч. Найдите собственную скорость лодки. 9. Найдите углы равнобедренного треугольника, если угол при основании на 15° больше угла между боковыми сторонами. 10. В треугольнике МРК проведены высоты МО и РН. Найдите ∠МРО и ∠KPH, если даны два угла: ∠MKP = 40°, ∠KMP = 30°.

Задание 1. Решите уравнение

Дано уравнение: \[ 4x - 2 = 7 - 6(3 - x) \]

Решение:

1. Раскроем скобки: \[ 4x - 2 = 7 - 18 + 6x \]
2. Приведем подобные члены: \[ 4x - 2 = -11 + 6x \]
3. Перенесем члены с переменной в одну сторону, а константы в другую: \[ 4x - 6x = -11 + 2 \]
4. Получим: \[ -2x = -9 \]
5. Найдем x: \[ x = \frac{-9}{-2} = 4.5 \]

Ответ: x = 4.5.

Задание 2. Сократите дробь

Дана дробь: \( \frac{a^2 b^3}{(ab)^2} \)

Решение:

1. Раскроем знаменатель: \( (ab)^2 = a^2 b^2 \)
2. Подставим в дробь: \( \frac{a^2 b^3}{a^2 b^2} \)
3. Сократим одинаковые множители: \( \frac{a^2}{a^2} \cdot \frac{b^3}{b^2} = 1 \cdot b^{3-2} = b \)

Ответ: b.

Задание 3. Упростите выражение

Дано выражение: \( (2a - 1)^2 - (2a - 3)(2a + 3) \)

Решение:

1. Раскроем квадрат разности: \( (2a - 1)^2 = (2a)^2 - 2(2a)(1) + 1^2 = 4a^2 - 4a + 1 \)
2. Раскроем разность квадратов: \( (2a - 3)(2a + 3) = (2a)^2 - 3^2 = 4a^2 - 9 \)
3. Подставим в исходное выражение: \( (4a^2 - 4a + 1) - (4a^2 - 9) \)
4. Раскроем скобки и приведем подобные члены: \[ 4a^2 - 4a + 1 - 4a^2 + 9 = -4a + 10 \]

Ответ: -4a + 10.

Задание 4. Вычислите

Дано: вычислить значение выражения \( \frac{7^3 · 4^9}{28^9} \)

Решение:

1. Перепишем знаменатель, используя свойство степеней \( (ab)^n = a^n b^n \): \[ 28^9 = (7 · 4)^9 = 7^9 · 4^9 \]
2. Подставим в исходное выражение: \[ \frac{7^3 · 4^9}{7^9 · 4^9} \]
3. Сократим \( 4^9 \): \[ \frac{7^3}{7^9} \]
4. Используем свойство степеней \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \): \[ 7^{3-9} = 7^{-6} = \frac{1}{7^6} \]

Ответ: \( \frac{1}{7^6} \).

Задание 5. Постройте график функции

Дана функция: \( y = 2x + 3 \)

Построение графика:

1. График линейной функции — это прямая.
2. Найдем две точки, принадлежащие графику.
3. Пусть \( x = 0 \), тогда \( y = 2(0) + 3 = 3 \). Первая точка: (0, 3).
4. Пусть \( x = 1 \), тогда \( y = 2(1) + 3 = 5 \). Вторая точка: (1, 5).
5. Построим эти точки на координатной плоскости и проведем через них прямую.

Проверим, проходит ли график через точку A (-20; -37):

Подставим координаты точки в уравнение функции:

\[ -37 = 2(-20) + 3 \]

\[ -37 = -40 + 3 \]

\[ -37 = -37 \]

Так как равенство верно, график проходит через точку А.

Ответ: График функции проходит через точку А (-20; -37).

Задание 6. Решите систему уравнений

Дана система уравнений:

\[ \begin{cases} 5x - 3y = 11 \\ 3x + y = 1 \end{cases} \]

Решение (метод подстановки):

1. Выразим y из второго уравнения: \[ y = 1 - 3x \]
2. Подставим это выражение в первое уравнение: \[ 5x - 3(1 - 3x) = 11 \]
3. Раскроем скобки: \[ 5x - 3 + 9x = 11 \]
4. Приведем подобные члены: \[ 14x = 11 + 3 \]
5. Получим: \[ 14x = 14 \]
6. Найдем x: \[ x = 1 \]
7. Подставим найденное значение x в выражение для y: \[ y = 1 - 3(1) = 1 - 3 = -2 \]

Ответ: (1; -2).

Задание 7. Разложите на множители

Дано выражение: \( 8cxy - 16cxy \)

Решение:

1. Вынесем общий множитель 8cxy за скобки: \[ 8cxy(1 - 2) \]
2. Вычислим значение в скобках: \[ 8cxy(-1) \]
3. Получим: \[ -8cxy \]

Ответ: -8cxy.

Задание 8. Задача про лодку

Дано:

• Время движения против течения: 3 часа.
• Время движения по течению: 2 часа.
• Общее расстояние: 32 км.
• Скорость течения реки: 3 км/ч.

Найти: собственную скорость лодки.

Решение:

1. Пусть собственная скорость лодки равна v км/ч.
2. Скорость лодки против течения: \( v - 3 \) км/ч.
3. Скорость лодки по течению: \( v + 3 \) км/ч.
4. Расстояние, пройденное против течения: \( 3(v - 3) \) км.
5. Расстояние, пройденное по течению: \( 2(v + 3) \) км.
6. Общее расстояние равно сумме расстояний: \[ 3(v - 3) + 2(v + 3) = 32 \]
7. Раскроем скобки: \[ 3v - 9 + 2v + 6 = 32 \]
8. Приведем подобные члены: \[ 5v - 3 = 32 \]
9. Перенесем константу: \[ 5v = 32 + 3 \]
10. Получим: \[ 5v = 35 \]
11. Найдем v: \[ v = \frac{35}{5} = 7 \] км/ч.

Ответ: собственная скорость лодки 7 км/ч.

Задание 9. Углы равнобедренного треугольника

Дано:

• Равнобедренный треугольник.
• Угол при основании на 15° больше угла между боковыми сторонами (вершинного угла).

Найти: все углы треугольника.

Решение:

1. Пусть угол при вершине равен \( \alpha \).
2. Углы при основании равны \( \alpha + 15° \).
3. Сумма углов треугольника равна 180°: \[ \alpha + (\alpha + 15°) + (\alpha + 15°) = 180° \]
4. Приведем подобные члены: \[ 3\alpha + 30° = 180° \]
5. Найдем \( \alpha \): \[ 3\alpha = 180° - 30° \]
6. \[ 3\alpha = 150° \]
7. \[ \alpha = 50° \]
8. Углы при основании: \( 50° + 15° = 65° \).
9. Таким образом, углы треугольника: 50°, 65°, 65°.

Ответ: 50°, 65°, 65°.

Задание 10. Углы в треугольнике МРК

Дано:

• Треугольник МРК.
• Высоты МО и РН.
• ∠MKP = 40°.
• ∠KMP = 30°.

Найти: ∠MPO и ∠KPH.

Решение:

1. Сначала найдем третий угол треугольника МРК - ∠MPK:
2. Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому: \[ ∠MPK = 180° - ∠MKP - ∠KMP = 180° - 40° - 30° = 110° \]
3. Рассмотрим прямоугольный треугольник МОР (так как МО - высота):
4. ∠MPO = 90° - ∠PMO.
5. В треугольнике МОР: ∠POM = 90°.
6. ∠KMP = 30°, значит ∠PMO = 30°.
7. ∠MPO = 90° - 30° = 60°.
8. Рассмотрим прямоугольный треугольник ПРН (так как РН - высота):
9. ∠KPH = 90° - ∠PKH.
10. В треугольнике РНК: ∠RNH = 90°.
11. ∠MKP = 40°, значит ∠HKR = 40°.
12. ∠KPH = 90° - 40° = 50°.

Ответ: ∠MPO = 60°, ∠KPH = 50°.