1. Решите уравнение: a) 2 * 3^(2x+1) - 3^x = 15

Решение:

Данное уравнение является показательным. Для его решения преобразуем его так, чтобы свести к квадратному уравнению.

1. Перепишем первое слагаемое: \( 2 \cdot 3^{2x+1} = 2 \cdot 3^{2x} \cdot 3^1 = 6 \cdot (3^x)^2 \).
2. Подставим это в исходное уравнение: \( 6 \cdot (3^x)^2 - 3^x = 15 \).
3. Сделаем замену переменной: пусть \( y = 3^x \). Поскольку \( 3^x > 0 \) для любого \( x \), то \( y > 0 \).
4. Уравнение примет вид: \( 6y^2 - y - 15 = 0 \).
5. Решим полученное квадратное уравнение относительно \( y \) с помощью дискриминанта:
• \( D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-15) = 1 + 360 = 361 \).
• \( \sqrt{D} = \sqrt{361} = 19 \).
• \( y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 19}{2 \cdot 6} = \frac{20}{12} = \frac{5}{3} \).
• \( y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 19}{2 \cdot 6} = \frac{-18}{12} = -\frac{3}{2} \).
6. Учитывая условие \( y > 0 \), отбрасываем отрицательный корень \( y_2 \).
7. Возвращаемся к замене: \( 3^x = y_1 = \frac{5}{3} \).
8. Чтобы найти \( x \), возьмем логарифм по основанию 3 от обеих частей уравнения: \( x = \log_3 \left( \frac{5}{3} \right) \).
9. По свойству логарифма: \( x = \log_3 5 - \log_3 3 = \log_3 5 - 1 \).

Ответ: \( x = \log_3 5 - 1 \).