1. Решите уравнение: а) 5(х + 3) = х - 3; б) (х + 8)(3х - 21) = 0. Модуль «Алгебра» 2. а) Постройте график функции у = -3х + 7; б) Принадлежит ли графику функции точка (5; -8)? 3. Упростите выражение: (2х - 5у)² - 6 х(х - 3у). 4. Решите систему уравнений: { x + 2y = 4, { 3x - 4y = 2. Модуль «Геометрия» 5. Выберите верные утверждения: 1) Через любую точку проходит не более одной прямой. 2) В треугольнике АВС, для которого АВ = 3, ВС = 4, АС = 5, угол С наименьший. 3) Сумма острых углов прямоугольного треугольника не превосходит 90°. 4) Если при пересечении двух прямых третьей прямой внутренние накрест лежащие углы равны, то эти прямые параллельны. В ответ запишите номера верных утверждений в порядке возрастания. 6. Решите задачу: В ДАВС проведена биссектриса AL, ZALC = 78°, ∠ABC = 52°. Найдите ДАСВ. Ответ дайте в градусах.

Модуль «Алгебра»

1. Решение уравнения:

1. а) \( 5(x + 3) = x - 3 \)



\( 5x + 15 = x - 3 \)




\( 5x - x = -3 - 15 \)




\( 4x = -18 \)




\( x = -18 / 4 \)




\( x = -4.5 \)



2. б) \( (x + 8)(3x - 21) = 0 \)



Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.




\( x + 8 = 0 \) или \( 3x - 21 = 0 \)




\( x = -8 \) или \( 3x = 21 \)




\( x = -8 \) или \( x = 7 \)

2. График функции и точка:

а) График функции \( y = -3x + 7 \) — прямая. Построим его, найдя две точки:

• При \( x = 0 \), \( y = -3(0) + 7 = 7 \). Точка (0; 7).


• При \( x = 2 \), \( y = -3(2) + 7 = -6 + 7 = 1 \). Точка (2; 1).

б) Проверим, принадлежит ли точка (5; -8) графику функции:

Подставим \( x = 5 \) в уравнение функции: \( y = -3(5) + 7 = -15 + 7 = -8 \). Значение \( y \) совпало, значит, точка принадлежит графику.

3. Упрощение выражения:

\( (2x - 5y)² - 6x(x - 3y) \)

Раскроем квадрат разности: \( (2x)² - 2(2x)(5y) + (5y)² = 4x² - 20xy + 25y² \)

Раскроем вторую часть: \( -6x(x - 3y) = -6x² + 18xy \)

Сложим полученные выражения: \( 4x² - 20xy + 25y² - 6x² + 18xy \)

Приведём подобные слагаемые: \( (4x² - 6x²) + (-20xy + 18xy) + 25y² = -2x² - 2xy + 25y² \)

4. Решение системы уравнений:

\( \begin{cases} x + 2y = 4 \\ 3x - 4y = 2
\end{cases} \)

Из первого уравнения выразим \( x \): \( x = 4 - 2y \)

Подставим во второе уравнение:

\( 3(4 - 2y) - 4y = 2 \)

\( 12 - 6y - 4y = 2 \)

\( -10y = 2 - 12 \)

\( -10y = -10 \)

\( y = 1 \)

Теперь найдём \( x \): \( x = 4 - 2(1) = 4 - 2 = 2 \)

Модуль «Геометрия»

5. Выберите верные утверждения:

Верные утверждения:

• 1) Через любую точку проходит не более одной прямой. (Неверно, через точку проходит бесконечное множество прямых).


• 2) В треугольнике АВС, для которого АВ = 3, ВС = 4, АС = 5, угол С наименьший. (Верно, напротив наименьшей стороны лежит наименьший угол).


• 3) Сумма острых углов прямоугольного треугольника не превосходит 90°. (Верно, сумма острых углов равна 90°).


• 4) Если при пересечении двух прямых третьей прямой внутренние накрест лежащие углы равны, то эти прямые параллельны. (Верно, это признак параллельности прямых).

Ответ: 2, 3, 4.

6. Решение задачи:

Дано: \( \triangle ABC \), AL — биссектриса, \( ypeof{ALC} = 78^\textrm{o} \), \( ypeof{ABC} = 52^\textrm{o} \).

Найти: \( ypeof{BAC} \).

Решение:

1. Угол \( ypeof{ALB} \) смежный с углом \( ypeof{ALC} \), поэтому \( ypeof{ALB} = 180^\textrm{o} - 78^\textrm{o} = 102^\textrm{o} \).

2. В \( \triangle ALB \) сумма углов равна 180°: \( ypeof{BAL} + ypeof{ALB} + ypeof{ABC} = 180^\textrm{o} \)

\( ypeof{BAL} + 102^\textrm{o} + 52^\textrm{o} = 180^\textrm{o} \)

\( ypeof{BAL} + 154^\textrm{o} = 180^\textrm{o} \)

\( ypeof{BAL} = 180^\textrm{o} - 154^\textrm{o} = 26^\textrm{o} \).

3. AL — биссектриса угла \( ypeof{BAC} \), значит \( ypeof{BAC} = 2 \times ypeof{BAL} \).

\( ypeof{BAC} = 2 \times 26^\textrm{o} = 52^\textrm{o} \).

Ответ: 52.