1. Решите уравнение: a) 5x + 2 = x - 2; 6) (2x + 1)/2 = 3/4. 2. Сократите дробь: a) (14a^3 b^3)/(21a^4 b^2); 6) (x^2+x)/(x^3). 3. Упростите выражение (2a - 1)^2 - (2a - 3)(2a + 3) и найдите его значение при a = -1/8. 4. Вычислите: a) (7^5 * 7^11)/(7^15); 6) ((3^4)^2 * 2^4)/(4*36^3). 5. Постройте график функции y = 2x + 5. Проходит ли график этой функции через точку D(-25; -45). 6. Решите систему уравнений: {5x + 3y = 4; 2x - y = -5}

Задание 1. Решение уравнений

1.а) 5x + 2 = x - 2

Переносим члены с x в левую часть, а числа — в правую:

\[ 5x - x = -2 - 2 \]

\[ 4x = -4 \]

\[ x = \frac{-4}{4} \]

\[ x = -1 \]

1.б) $$\frac{2x + 1}{2} = \frac{3}{4}$$

Умножаем обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от знаменателей:

\[ 4 \cdot \frac{2x + 1}{2} = 4 \cdot \frac{3}{4} \]

\[ 2(2x + 1) = 3 \]

\[ 4x + 2 = 3 \]

\[ 4x = 3 - 2 \]

\[ 4x = 1 \]

\[ x = \frac{1}{4} \]

Ответ: а) x = -1; б) x = 1/4.

Задание 2. Сокращение дробей

2.а) $$\frac{14a^3 b^3}{21a^4 b^2}$$

Разложим числитель и знаменатель на множители:

\[ \frac{14a^3 b^3}{21a^4 b^2} = \frac{2 \cdot 7 \cdot a^3 \cdot b^2 \cdot b}{3 \cdot 7 \cdot a^3 \cdot a \cdot b^2} \]

Сокращаем общие множители:

\[ \frac{2b}{3a} \]

2.б) $$\frac{x^2 + x}{x^3}$$

Вынесем общий множитель $$x$$ в числителе:

\[ \frac{x(x + 1)}{x^3} \]

Сокращаем $$x$$:

\[ \frac{x + 1}{x^2} \]

Ответ: а) 2b/3a; б) (x + 1)/x^2.

Задание 3. Упрощение выражения

Упростим выражение:

\[ (2a - 1)^2 - (2a - 3)(2a + 3) \]

Раскроем квадрат разности и разность квадратов:

\[ (4a^2 - 4a + 1) - (4a^2 - 9) \]

Раскроем скобки:

\[ 4a^2 - 4a + 1 - 4a^2 + 9 \]

Приведём подобные слагаемые:

\[ -4a + 10 \]

Найдем значение выражения при $$a = -1/8$$

\[ -4 \left(-\frac{1}{8}\right) + 10 \]

\[ \frac{4}{8} + 10 \]

\[ \frac{1}{2} + 10 \]

\[ 10.5 \]

Ответ: -4a + 10; 10.5.

Задание 4. Вычисление

4.а) $$\frac{7^5 \cdot 7^{11}}{7^{15}}$$

Используем свойства степеней $$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$ и $$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$$:

\[ \frac{7^{5+11}}{7^{15}} = \frac{7^{16}}{7^{15}} = 7^{16-15} = 7^1 = 7 \]

4.б) $$\frac{(3^4)^2 \cdot 2^4}{4 \cdot 36^3}$$

Преобразуем выражение:

\[ \frac{3^8 \cdot 2^4}{4 \cdot (6^2)^3} = \frac{3^8 \cdot 2^4}{2^2 \cdot 6^6} = \frac{3^8 \cdot 2^4}{2^2 \cdot (2 \cdot 3)^6} = \frac{3^8 \cdot 2^4}{2^2 \cdot 2^6 \cdot 3^6} = \frac{3^8 \cdot 2^4}{2^8 \cdot 3^6} \]

Сокращаем:

\[ \frac{3^{8-6}}{2^{8-4}} = \frac{3^2}{2^4} = \frac{9}{16} \]

Ответ: а) 7; б) 9/16.

Задание 5. Построение графика функции

Функция: $$y = 2x + 5$$. Это линейная функция, её график — прямая.

Построение графика:

Чтобы построить прямую, достаточно найти две точки, принадлежащие ей. Возьмем $$x=0$$ и $$x=-1$$.

• При $$x=0$$: $$y = 2(0) + 5 = 5$$. Точка $$(0, 5)$$.
• При $$x=-1$$: $$y = 2(-1) + 5 = -2 + 5 = 3$$. Точка $$(-1, 3)$$.

Проверим, проходит ли график через точку D(-25; -45).

Подставим координаты точки в уравнение функции:

$$y = 2x + 5$$

$$-45 = 2(-25) + 5$$

$$-45 = -50 + 5$$

$$-45 = -45$$

Равенство верно. Значит, график проходит через эту точку.

Ответ: График функции проходит через точку D(-25; -45).

Задание 6. Решение системы уравнений

Дана система:

$$\begin{cases} 5x + 3y = 4 \ 2x - y = -5 \tag{1} \tag{2} \tag{2}\\{\color{red}\text{Eq}} \end{cases}$$

Выразим $$y$$ из второго уравнения:

\[ y = 2x + 5 \]

Подставим это выражение в первое уравнение:

\[ 5x + 3(2x + 5) = 4 \]

\[ 5x + 6x + 15 = 4 \]

\[ 11x = 4 - 15 \]

\[ 11x = -11 \]

\[ x = -1 \]

Теперь найдем $$y$$, подставив $$x = -1$$ в уравнение $$y = 2x + 5$$:

\[ y = 2(-1) + 5 \]

\[ y = -2 + 5 \]

\[ y = 3 \]

Ответ: x = -1, y = 3.