1. Решите уравнение: a) 8y = -62,4 + 5y; 6) 1/4*x - 2/3*x + 1 = 1/2*x + 1/6. 2. В одной бочке в 3 раза больше бензина, чем в другой. Если из первой бочки отлить 78 л бензина, а во вторую добавить 42 л, то бензина в бочках будет поровну. Сколько бензина в каждой бочке? 3. Найдите корень уравнения (x+3)/7 = (2x-1)/5. 4. Скорость автобуса на 26 км/ч меньше скорости легкового автомобиля. Автобус за 5 ч проходит такой же путь, как легковой автомобиль за 3 ч. Найдите скорость автобуса. 5*. Найдите два корня уравнения |-0,42| = |y|*|-2,8|.

Задание 1. Решение уравнений

а) 8y = -62,4 + 5y

Для решения этого уравнения, перенесём все члены с 'y' в левую часть, а числовые значения оставим в правой.

1. Вычтем '5y' из обеих частей уравнения: \[ 8y - 5y = -62,4 \]
2. Упростим: \[ 3y = -62,4 \]
3. Разделим обе части на 3, чтобы найти 'y': \[ y = \frac{-62,4}{3} \]
4. Вычислим значение 'y': \[ y = -20,8 \]

Ответ: y = -20,8.

б) \( \frac{1}{4}x - \frac{2}{3}x + 1 = \frac{1}{2}x + \frac{1}{6} \)

Чтобы решить это уравнение, сначала избавимся от дробей, приведя все члены к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 4, 3, 2 и 6 равен 12.

1. Умножим обе части уравнения на 12: \[ 12 \left( \frac{1}{4}x - \frac{2}{3}x + 1 \right) = 12 \left( \frac{1}{2}x + \frac{1}{6} \right) \]
2. Распределим 12 по членам: \[ 3x - 8x + 12 = 6x + 2 \]
3. Объединим подобные члены в левой части: \[ -5x + 12 = 6x + 2 \]
4. Перенесём члены с 'x' в правую часть, а числа — в левую: \[ 12 - 2 = 6x + 5x \]
5. Упростим: \[ 10 = 11x \]
6. Разделим обе части на 11: \[ x = \frac{10}{11} \]

Ответ: x = \( \frac{10}{11} \).

Задание 2. Задача о бочках с бензином

Давайте разберём эту задачу шаг за шагом.

Обозначения:

• Пусть \( x \) — количество бензина во второй бочке (в литрах).
• Тогда в первой бочке \( 3x \) литров бензина.

Условие после изменений:

• Из первой бочки отлили 78 л, осталось: \( 3x - 78 \) л.
• Во вторую добавили 42 л, стало: \( x + 42 \) л.
• После этих действий бензина в бочках стало поровну: \[ 3x - 78 = x + 42 \]

Решение уравнения:

1. Перенесём члены с 'x' в левую часть, а числа — в правую: \[ 3x - x = 42 + 78 \]
2. Упростим: \[ 2x = 120 \]
3. Разделим обе части на 2: \[ x = 60 \]

Это значит, что во второй бочке было 60 л бензина.

Теперь найдём, сколько бензина было в первой бочке:

• В первой бочке было \( 3x = 3 \cdot 60 = 180 \) л.

Проверка:

• После отлития 78 л из первой бочки осталось: \( 180 - 78 = 102 \) л.
• После добавления 42 л во вторую бочку стало: \( 60 + 42 = 102 \) л.
• Количество бензина стало равным.

Ответ: Изначально в первой бочке было 180 л бензина, а во второй — 60 л.

Задание 3. Решение уравнения

У нас есть пропорция: \( \frac{x+3}{7} = \frac{2x-1}{5} \)

Чтобы решить её, мы можем использовать метод перекрёстного умножения:

1. Умножим числитель первой дроби на знаменатель второй и приравняем к произведению числителя второй дроби на знаменатель первой: \[ 5(x+3) = 7(2x-1) \]
2. Раскроем скобки: \[ 5x + 15 = 14x - 7 \]
3. Перенесём члены с 'x' в правую часть, а числа — в левую: \[ 15 + 7 = 14x - 5x \]
4. Упростим: \[ 22 = 9x \]
5. Разделим обе части на 9, чтобы найти 'x': \[ x = \frac{22}{9} \]

Ответ: x = \( \frac{22}{9} \).

Задание 4. Задача о скоростях автобуса и автомобиля

Давайте найдём скорости автобуса и автомобиля.

Обозначения:

• Пусть \( v_а \) — скорость автобуса (км/ч).
• Пусть \( v_л \) — скорость легкового автомобиля (км/ч).

Известно:

• Скорость автобуса на 26 км/ч меньше скорости автомобиля: \( v_а = v_л - 26 \).
• Автобус за 5 часов проходит такой же путь, как автомобиль за 3 часа.

Формула пути: \( S = v \cdot t \)

Составим уравнения:

• Путь, пройденный автобусом: \( S_а = v_а \cdot 5 \).
• Путь, пройденный автомобилем: \( S_л = v_л \cdot 3 \).
• Так как пути равны: \[ 5v_а = 3v_л \]

Решение системы уравнений:

Подставим первое уравнение во второе:

1. \( 5(v_л - 26) = 3v_л \)
2. Раскроем скобки: \[ 5v_л - 130 = 3v_л \]
3. Перенесём члены с \( v_л \) в левую часть, а числа — в правую: \[ 5v_л - 3v_л = 130 \]
4. Упростим: \[ 2v_л = 130 \]
5. Разделим обе части на 2: \[ v_л = 65 \] км/ч.

Теперь найдём скорость автобуса:

• \( v_а = v_л - 26 = 65 - 26 = 39 \) км/ч.

Проверка:

• Путь автобуса: \( 39 \text{ км/ч} \cdot 5 \text{ ч} = 195 \text{ км} \).
• Путь автомобиля: \( 65 \text{ км/ч} \cdot 3 \text{ ч} = 195 \text{ км} \).
• Пути равны.

Ответ: Скорость автобуса 39 км/ч.

Задание 5*. Нахождение двух корней уравнения

Уравнение: \( |-0,42| = |y| · |-2,8| \)

Сначала упростим известные значения модулей:

• \( |-0,42| = 0,42 \)
• \( |-2,8| = 2,8 \)

Теперь уравнение выглядит так:

• \( 0,42 = |y| · 2,8 \)

Выразим \( |y| \):

1. \( |y| = \frac{0,42}{2,8} \)
2. Выполним деление: \( |y| = 0,15 \)

Уравнение \( |y| = 0,15 \) имеет два корня, так как модуль числа равен 0,15, когда само число равно 0,15 или -0,15.

Ответ: y = 0,15 и y = -0,15.