Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
1. Решение уравнений:
а) \(\frac{x^2}{x^2 - 9} = \frac{12 - x}{x^2 - 9}\)
Для решения уравнения, во-первых, определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель \( x^2 - 9 \) не должен быть равен нулю, значит \( x^2 \neq 9 \), откуда \( x \neq 3 \) и \( x \neq -3 \).
Так как знаменатели у дробей одинаковые, приравняем числители:
\( x^2 = 12 - x \)
Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
\( x^2 + x - 12 = 0 \)
Найдем дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49 \]
Корни уравнения:
\[ x_1 = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 7}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]
\[ x_2 = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 7}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \]
Проверим корни по ОДЗ. Корень \( x = 3 \) не подходит, так как он находится в знаменателе \( x^2 - 9 = 3^2 - 9 = 9 - 9 = 0 \). Следовательно, \( x = 3 \) — посторонний корень.
Корень \( x = -4 \) подходит, так как \( (-4)^2 - 9 = 16 - 9 = 7 \neq 0 \).
б) \(\frac{6}{x - 2} + \frac{5}{x} = 3\)
Определим ОДЗ: \( x - 2 \neq 0 \) и \( x \neq 0 \). Значит, \( x \neq 2 \) и \( x \neq 0 \).
Приведём дроби к общему знаменателю \( x(x - 2) \):
\[ \frac{6x}{x(x - 2)} + \frac{5(x - 2)}{x(x - 2)} = 3 \]
Сложим дроби:
\[ \frac{6x + 5x - 10}{x(x - 2)} = 3 \]
\[ \frac{11x - 10}{x^2 - 2x} = 3 \]
Умножим обе части на \( x^2 - 2x \):
\[ 11x - 10 = 3(x^2 - 2x) \]
\[ 11x - 10 = 3x^2 - 6x \]
Перенесём все члены в одну сторону:
\[ 3x^2 - 6x - 11x + 10 = 0 \]
\[ 3x^2 - 17x + 10 = 0 \]
Найдем дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = (-17)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 10 = 289 - 120 = 169 \]
Корни уравнения:
\[ x_1 = \frac{17 + \sqrt{169}}{2 \cdot 3} = \frac{17 + 13}{6} = \frac{30}{6} = 5 \]
\[ x_2 = \frac{17 - \sqrt{169}}{2 \cdot 3} = \frac{17 - 13}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \]
Оба корня \( x = 5 \) и \( x = \frac{2}{3} \) удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: а) \( x = -4 \); б) \( x = 5 \), \( x = \frac{2}{3} \).
