1. Решите уравнение: a) $$\frac{x}{20-x} = \frac{1}{x}$$; б) $$\frac{2x}{x-1} + \frac{3}{x+1} = \frac{3x+1}{x^2-1}$$

Решение:

1.а)

• Приведем уравнение к общему знаменателю:
• \[ \frac{x}{20-x} = \frac{1}{x} \]
• \[ x \cdot x = 1 \cdot (20-x) \quad (x
  eq 20, x
  eq 0) \]
• \[ x^2 = 20 - x \]
• \[ x^2 + x - 20 = 0 \]
• Найдем дискриминант:
• \[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81 \]
• \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm 9}{2} \]
• \[ x_1 = \frac{-1 + 9}{2} = \frac{8}{2} = 4 \]
• \[ x_2 = \frac{-1 - 9}{2} = \frac{-10}{2} = -5 \]
• Оба корня удовлетворяют условиям $$x
  eq 20$$ и $$x
  eq 0$$.

1.б)

• Приведем уравнение к общему знаменателю $$x^2-1 = (x-1)(x+1)$$:
• \[ \frac{2x(x+1)}{(x-1)(x+1)} + \frac{3(x-1)}{(x+1)(x-1)} = \frac{3x+1}{x^2-1} \]
• \[ \frac{2x^2+2x + 3x-3}{x^2-1} = \frac{3x+1}{x^2-1} \]
• \[ 2x^2 + 5x - 3 = 3x + 1 \quad (x
  eq 1, x
  eq -1) \]
• \[ 2x^2 + 5x - 3x - 3 - 1 = 0 \]
• \[ 2x^2 + 2x - 4 = 0 \]
• \[ x^2 + x - 2 = 0 \]
• Найдем дискриминант:
• \[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \]
• \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm 3}{2} \]
• \[ x_1 = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]
• \[ x_2 = \frac{-1 - 3}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \]
• Корень $$x_1=1$$ не удовлетворяет условию $$x
  eq 1$$.
• Корень $$x_2 = -2$$ удовлетворяет условиям $$x
  eq 1$$ и $$x
  eq -1$$.

Финальный ответ:

Ответ: а) 4; -5; б) -2