1. Решите уравнение: a) $\frac{x}{2x+3} = \frac{1}{x}$ б) $\frac{2x+5}{x^2+x} - \frac{2}{x} = \frac{3x}{x+1}$

Question

Вопрос: $Фото задания: 1. Решите уравнение: a) $\frac{x}{2x+3} = \frac{1}{x}$ б) $\frac{2x+5}{x^2+x} - \frac{2}{x} = \frac{3x}{x+1}$$ Фото задания

Accepted Answer

а) $\frac{x}{2 x + 3} = \frac{1}{x}$

ОДЗ: $x \neq 0$ и $2x+3 \neq 0 \implies x \neq -3/2$.
Перемножаем крест-накрест: $x \cdot x = 1 \cdot (2x+3)$
Упрощаем: $x^2 = 2x+3$
Приводим к квадратному уравнению: $x^2 - 2x - 3 = 0$
Находим корни по теореме Виета: $x_1 = 3$, $x_2 = -1$. Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

б) $\frac{2 x + 5}{x^{2} + x} - \frac{2}{x} = \frac{3 x}{x + 1}$

ОДЗ: $x^2+x \neq 0 \implies x(x+1) \neq 0 \implies x \neq 0, x \neq -1$. $x \neq 0$ (уже учтено). $x+1 \neq 0 \implies x \neq -1$ (уже учтено).
Приводим знаменатели к общему виду: $x^2+x = x(x+1)$.
Умножаем обе части уравнения на общий знаменатель $x(x+1)$:
$x (2 x + 5) - 2 (x + 1) = 3 x \cdot x$
Раскрываем скобки: $2x^2+5x-2x-2=3x^2$
Упрощаем: $2x^2+3x-2=3x^2$
Приводим к квадратному уравнению: $x^2-3x+2=0$
Находим корни по теореме Виета: $x_1 = 1$, $x_2 = 2$. Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: а) 3; -1. б) 1; 2.

1. Решите уравнение: a) \(\frac{x}{2x+3} = \frac{1}{x}\) б) \(\frac{2x+5}{x^2+x} - \frac{2}{x} = \frac{3x}{x+1}\)