1. Решите уравнение: a) \(\frac{x}{2x+3} = \frac{1}{x}\) б) \(\frac{2x+5}{x^2+x} - \frac{2}{x} = \frac{3x}{x+1}\)

Решение:

а) $\frac{x}{2x+3}=\frac{1}{x}$

1. ОДЗ: \(x
   eq 0\) и \(2x+3
   eq 0 \implies x
   eq -3/2\).
2. Перемножаем крест-накрест: \(x \cdot x = 1 \cdot (2x+3)\)
3. Упрощаем: \(x^2 = 2x+3\)
4. Приводим к квадратному уравнению: \(x^2 - 2x - 3 = 0\)
5. Находим корни по теореме Виета: \(x_1 = 3\), \(x_2 = -1\). Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

б) $\frac{2x+5}{x^2+x}-\frac{2}{x}=\frac{3x}{x+1}$

1. ОДЗ: \(x^2+x
   eq 0 \implies x(x+1)
   eq 0 \implies x
   eq 0, x
   eq -1\). \(x
   eq 0\) (уже учтено). \(x+1
   eq 0 \implies x
   eq -1\) (уже учтено).
2. Приводим знаменатели к общему виду: \(x^2+x = x(x+1)\).
3. Умножаем обе части уравнения на общий знаменатель \(x(x+1)\):
4. $x(2x+5)-2(x+1)=3x\cdot x$
5. Раскрываем скобки: \(2x^2+5x-2x-2=3x^2\)
6. Упрощаем: \(2x^2+3x-2=3x^2\)
7. Приводим к квадратному уравнению: \(x^2-3x+2=0\)
8. Находим корни по теореме Виета: \(x_1 = 1\), \(x_2 = 2\). Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: а) 3; -1. б) 1; 2.