1. Решите уравнение \(\frac{1}{x^2} + \frac{2}{x} - 3 = 0.\)

Решение:

1. Это дробно-рациональное уравнение. Чтобы решить его, приведём все члены к общему знаменателю \(x^2\).
2. \( \frac{1}{x^2} + \frac{2x}{x^2} - \frac{3x^2}{x^2} = 0 \)
3. Уравнение примет вид: \( \frac{1 + 2x - 3x^2}{x^2} = 0 \)
4. Знаменатель не может быть равен нулю, значит \(x^2 \neq 0 \), то есть \(x \neq 0 \).
5. Числитель должен быть равен нулю: \( 1 + 2x - 3x^2 = 0 \).
6. Перепишем уравнение в стандартном виде квадратного уравнения: \( -3x^2 + 2x + 1 = 0 \) или \( 3x^2 - 2x - 1 = 0 \).
7. Найдем дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16 \).
8. Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два корня.
9. Найдём корни по формуле: \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{2 + 4}{6} = \frac{6}{6} = 1 \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{2 - 4}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3} \]
10. Оба корня \( x_1 = 1 \) и \( x_2 = -\frac{1}{3} \) не равны нулю, поэтому они являются решениями исходного уравнения.

Ответ: x₁ = 1, x₂ = -\(\frac{1}{3}\).