№ 1. Решите уравнение и неравенства: 1) 5 · 25ˣ + 4 · 5ˣ = 1; 2) 4^log₄(2x+4) = −8 − 6x; 3) 5^3x+2 · 4^3x+2 = 5^2x−1 · 4^2x−1; 4) log₅(2x − 7) = log₅(5 − 8x); 5) log₃(4 − 2x) − log₃(5x + 3) = 2; 6) 8^3x−2 − 1 > 0; 7) log_1/4(3 + 6x) > log_1/4(12x − 4).

1. Положим t = 5^x, где t > 0. Тогда 25^x = t², поэтому 5t² + 4t = 1, то есть 5t² + 4t − 1 = 0.

   Корни: t = (−4 ± 6)/10, откуда t = 1/5 или t = −1. Учитываем t > 0: 5^x = 1/5, значит x = −1.

2. Область определения: 2x + 4 > 0, то есть x > −2. По свойству логарифма 4^log₄(2x+4) = 2x + 4.

   2x + 4 = −8 − 6x; 8x = −12; x = −3/2. Это значение входит в область определения.

3. Объединим степени с одинаковыми основаниями: 20^3x+2 = 20^2x−1. Так как основания равны и 20 ≠ 1, приравниваем показатели: 3x + 2 = 2x − 1, откуда x = −3.

4. Для логарифмов необходимы условия 2x − 7 > 0 и 5 − 8x > 0. Они дают соответственно x > 7/2 и x < 5/8. Эти условия несовместимы, поэтому решений нет.

5. Область определения: 4 − 2x > 0 и 5x + 3 > 0, то есть −3/5 < x < 2.

   Объединяем логарифмы: log₃((4 − 2x)/(5x + 3)) = 2, значит (4 − 2x)/(5x + 3) = 9.

   4 − 2x = 45x + 27; −47x = 23; x = −23/47. Значение принадлежит области определения.

6. 8^3x−2 − 1 > 0 равносильно 8^3x−2 > 1. Поскольку основание 8 > 1, получаем 3x − 2 > 0, следовательно, x > 2/3.

7. Область определения: 3 + 6x > 0 и 12x − 4 > 0, то есть x > −1/2 и x > 1/3. Вместе: x > 1/3.

   Основание 1/4 меньше 1, поэтому логарифмическая функция убывает и знак неравенства меняется: 3 + 6x < 12x − 4. Отсюда 7 < 6x, то есть x > 7/6. С учётом области определения ответ не меняется.

Ответ: 1) x = −1; 2) x = −3/2; 3) x = −3; 4) решений нет; 5) x = −23/47; 6) x > 2/3; 7) x > 7/6.