1) Решите уравнение sin 2x = -sin x. 2) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [3π/2; 3π].

1. Решение уравнения \( \sin 2x = -\sin x \)

Используем формулу двойного угла для синуса: \( \sin 2x = 2 \sin x \cos x \).

Подставим в уравнение:

\[ 2 \sin x \cos x = -\sin x \]\[ 2 \sin x \cos x + \sin x = 0 \]\[ \sin x (2 \cos x + 1) = 0 \]

Это уравнение распадается на два случая:

1. \( \sin x = 0 \)

   Общее решение: \( x = \pi k \), где \( k \) — целое число.

2. \( 2 \cos x + 1 = 0 \)

   \( \cos x = -\frac{1}{2} \)

   Общее решение: \( x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \), где \( n \) — целое число.

2. Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \( \left[ \frac{3\pi}{2}; 3\pi \right] \)

Проверим корни первого случая \( x = \pi k \):

• При \( k = 1 \), \( x = \pi \) (не принадлежит отрезку)
• При \( k = 2 \), \( x = 2\pi = \frac{4\pi}{2} \) (принадлежит отрезку \( \left[ \frac{3\pi}{2}; 3\pi \right] \))
• При \( k = 3 \), \( x = 3\pi \) (принадлежит отрезку \( \left[ \frac{3\pi}{2}; 3\pi \right] \))

Проверим корни второго случая \( x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \):

• При \( n = 0 \), \( x = \frac{2\pi}{3} \) (не принадлежит отрезку)
• При \( n = 1 \), \( x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{8\pi}{3} = \frac{16\pi}{6} \). Сравним с границами отрезка: \( \frac{3\pi}{2} = \frac{9\pi}{6} \), \( 3\pi = \frac{18\pi}{6} \). \( \frac{16\pi}{6} \) принадлежит отрезку \( \left[ \frac{9\pi}{6}; \frac{18\pi}{6} \right] \).

Проверим корни второго случая \( x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n \):

• При \( n = 1 \), \( x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{4\pi}{3} \) (не принадлежит отрезку)
• При \( n = 2 \), \( x = -\frac{2\pi}{3} + 4\pi = \frac{10\pi}{3} = \frac{20\pi}{6} \). \( \frac{20\pi}{6} \) не принадлежит отрезку \( \left[ \frac{9\pi}{6}; \frac{18\pi}{6} \right] \).

Ответ: 1) \( x = \pi k \) и \( x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \), где \( k, n \) — целые числа. 2) \( 2\pi, 3\pi, \frac{8\pi}{3} \).