1) Решите уравнение sin² x = - sin x. 2) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [- 7π/2; -2π].

1) Решение уравнения:

Дано уравнение: \( \sin^2 x = - \sin x \)

1. Перенесем все члены в одну сторону: \( \sin^2 x + \sin x = 0 \)
2. Вынесем общий множитель \( \sin x \) за скобки: \( \sin x (\sin x + 1) = 0 \)
3. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.
• Случай 1: \( \sin x = 0 \)

Это означает, что \( x = \pi k \), где \( k \) — любое целое число.

• Случай 2: \( \sin x + 1 = 0 \)

Отсюда \( \sin x = -1 \)

Это означает, что \( x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \), где \( n \) — любое целое число.

2) Нахождение корней на отрезке [-7π/2; -2π]:

Теперь нам нужно найти значения \( k \) и \( n \), при которых корни попадают в заданный отрезок.

1. Для случая \( x = \pi k \):
• Нам нужно, чтобы \( -\frac{7\pi}{2} \le \pi k \le -2\pi \)
• Разделим все части неравенства на \( \pi \): \( -\frac{7}{2} \le k \le -2 \)
• \( -3.5 \le k \le -2 \)
• Целые значения \( k \) в этом интервале: \( k = -3 \) и \( k = -2 \).
• Подставляем найденные \( k \) в формулу \( x = \pi k \):
• При \( k = -3 \): \( x = -3\pi \)
• При \( k = -2 \): \( x = -2\pi \)
2. Для случая \( x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \):
• Нам нужно, чтобы \( -\frac{7\pi}{2} \le -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \le -2\pi \)
• Вычтем \( -\frac{\pi}{2} \) из всех частей неравенства:

\( -\frac{7\pi}{2} - (-\frac{\pi}{2}) \le 2\pi n \le -2\pi - (-\frac{\pi}{2}) \)

\( -\frac{6\pi}{2} \le 2\pi n \le -\frac{3\pi}{2} \)

\( -3\pi \le 2\pi n \le -\frac{3\pi}{2} \)

• Разделим все части неравенства на \( 2\pi \):

\( \frac{-3\pi}{2\pi} \le n \le \frac{-3\pi/2}{2\pi} \)

\( -\frac{3}{2} \le n \le -\frac{3}{4} \)

\( -1.5 \le n \le -0.75 \)

• Единственное целое значение \( n \) в этом интервале: \( n = -1 \).
• Подставляем найденное \( n \) в формулу \( x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \):
• При \( n = -1 \): \( x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi (-1) = -\frac{\pi}{2} - 2\pi = -\frac{\pi}{2} - \frac{4\pi}{2} = -\frac{5\pi}{2} \)

Итоговые корни на заданном отрезке:

• Из первого случая: \( -3\pi \) и \( -2\pi \)
• Из второго случая: \( -\frac{5\pi}{2} \)

Ответ: Корни уравнения на отрезке [-7π/2; -2π] равны -3π, -2π и -5π/2.