1) Решите уравнение \(\sqrt{2} \operatorname{tg} x = -2 \sin x.\) 2) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[-\frac{3\pi}{2}; -\frac{3\pi}{2}\right].\)

1. Решение уравнения:

Дано уравнение:
\[
\sqrt{2} \operatorname{tg} x = -2 \sin x
\]

Сначала преобразуем тангенс:
\[
\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}
\]

Подставим в исходное уравнение:
\[
\sqrt{2} \frac{\sin x}{\cos x} = -2 \sin x
\]

Перенесем все в одну сторону:
\[
\sqrt{2} \frac{\sin x}{\cos x} + 2 \sin x = 0
\]

Вынесем общий множитель \(\sin x\):
\[
\sin x \left(\frac{\sqrt{2}}{\cos x} + 2\right) = 0
\]

Это уравнение распадается на два случая:

Случай 1:
\[
\sin x = 0
\]

Решением этого уравнения является:
\[
x = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}
\]

Случай 2:
\[
\frac{\sqrt{2}}{\cos x} + 2 = 0
\]

Решим это уравнение:
\[
\frac{\sqrt{2}}{\cos x} = -2
\]

\[
\cos x = \frac{\sqrt{2}}{-2} = -\frac{\sqrt{2}}{2}
\]

Решением этого уравнения является:
\[
x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}
\]

Таким образом, общие корни уравнения:
\[
x = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}
\]
и
\[
x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}
\]

2. Нахождение корней на отрезке [-\(3\frac{\pi}{2}; -\frac{3\pi}{2}\]):

Нам нужно найти корни, принадлежащие отрезку \(\left[-\frac{3\pi}{2}; -\frac{3\pi}{2}\right)\). Заметим, что верхняя граница отрезка имеет отрицательное значение, поэтому мы ищем корни в отрицательной части числовой оси.

Проверяем корни вида \(x = \pi k\):

• Если \(k = -1\), то \(x = -\pi\). Это значение находится в отрезке \(\[-\frac{3\pi}{2}; -\frac{3\pi}{2}\)\, так как \(-\frac{3\pi}{2} = -4.71\) и \(-\pi \approx -3.14\).
• Если \(k = -2\), то \(x = -2\pi\). Это значение НЕ находится в отрезке, так как \(-2\pi < -\frac{3\pi}{2}\).

Проверяем корни вида \(x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n\):

• Если \(n = -1\), то \(x = \frac{3\pi}{4} - 2\pi = \frac{3\pi - 8\pi}{4} = -\frac{5\pi}{4}\). Это значение находится в отрезке \(\[-\frac{3\pi}{2}; -\frac{3\pi}{2}\)\, так как \(-\frac{3\pi}{2} = -4.71\) и \(-\frac{5\pi}{4} \approx -3.93\).

Проверяем корни вида \(x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi n\):

• Если \(n = -1\), то \(x = -\frac{3\pi}{4} - 2\pi = \frac{-3\pi - 8\pi}{4} = -\frac{11\pi}{4}\). Это значение НЕ находится в отрезке, так как \(-\frac{11\pi}{4} < -\frac{3\pi}{2}\).
• Если \(n = 0\), то \(x = -\frac{3\pi}{4}\). Это значение НЕ находится в отрезке, так как \(-\frac{3\pi}{4} > -\frac{3\pi}{2}\).

Таким образом, на заданном отрезке находятся следующие корни:

• \(x = -\pi\)
• \(x = -\frac{5\pi}{4}\)

Ответ:

1) Корни уравнения: \(x = \pi k\) и \(x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n\), где \(k, n \in \mathbb{Z}\).

2) Корни, принадлежащие отрезку \(\[-\frac{3\pi}{2}; -\frac{3\pi}{2}\)\, равны \(-\pi\) и \(-\frac{5\pi}{4}\).