1) Решите уравнение tg x = - 2 sin x. 2) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-3π; -3π/2]

Решение:

1. Решение уравнения:

   Запишем тангенс как отношение синуса к косинусу:

   \( \frac{\sin x}{\cos x} = -2 \sin x \)

   Перенесем все в левую часть:

   \( \frac{\sin x}{\cos x} + 2 \sin x = 0 \)

   Вынесем общий множитель \( \sin x \):

   \( \sin x \left( \frac{1}{\cos x} + 2 \right) = 0 \)

   Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

   Случай 1: \( \sin x = 0 \)

   \( x = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \)

   Случай 2: \( \frac{1}{\cos x} + 2 = 0 \)

   \( \frac{1}{\cos x} = -2 \)\( \cos x = -\frac{1}{2} \)

   Общее решение для этого случая:

   \( x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \)
2. Отбор корней на отрезке [\(-3\pi; -3\pi/2\)]

1. Отбор корней из \( x = \pi k \)

• Для \( k = -1 \): \( x = -\pi \) (не принадлежит отрезку)
• Для \( k = -2 \): \( x = -2\pi \) (не принадлежит отрезку)
• Для \( k = -3 \): \( x = -3\pi \) (принадлежит отрезку)
• Для \( k = -4 \): \( x = -4\pi \) (не принадлежит отрезку)
• Таким образом, из первой серии решений подходят только \( x = -3\pi \).

2. Отбор корней из \( x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \)

• Рассмотрим \( x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \):
• Для \( n = -1 \): \( x = \frac{2\pi}{3} - 2\pi = \frac{2\pi - 6\pi}{3} = -\frac{4\pi}{3} \) (принадлежит отрезку, так как \(-3\pi \approx -9.42 \) и \(-3\pi/2 \approx -4.71 \), а \(-4\pi/3 \approx -4.19 \) — это неверное сравнение, \(-4\pi/3 = -1.33\pi \) что больше \(-1.5\pi\) ).
• Сделаем пересчет: \(-3\pi \le x \le -3\pi/2 \)
• \( \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \)
• \( -3\pi \le \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \le -3\pi/2 \)
• \( -3 - \frac{2}{3} \le 2n \le -\frac{3}{2} - \frac{2}{3} \)
• \( -\frac{11}{3} \le 2n \le -\frac{13}{6} \)
• \( -\frac{11}{6} \le n \le -\frac{13}{12} \)
• \( -1.833... \le n \le -1.083... \)
• При \( n = -1 \): \( x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi(-1) = \frac{2\pi - 6\pi}{3} = -\frac{4\pi}{3} \).
• Проверим принадлежность: \( -3\pi \le -\frac{4\pi}{3} \le -3\pi/2 \)
• \( -9\pi/3 \le -4\pi/3 \le -9\pi/6 \)
• \( -9 \le -4 \) (Верно). \( -4/3 \approx -1.33 \), \(-3/2 = -1.5 \). \( -1.33 \) не меньше \(-1.5 \). Значит, \(-4\pi/3 \) не принадлежит отрезку.

Рассмотрим \( x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n \):

• \( -3\pi \le -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n \le -3\pi/2 \)
• \( -3 + \frac{2}{3} \le 2n \le -\frac{3}{2} + \frac{2}{3} \)
• \( -\frac{7}{3} \le 2n \le -\frac{5}{6} \)
• \( -\frac{7}{6} \le n \le -\frac{5}{12} \)
• \( -1.166... \le n \le -0.416... \)
• При \( n = -1 \): \( x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi(-1) = -\frac{2\pi + 6\pi}{3} = -\frac{8\pi}{3} \).
• Проверим принадлежность: \( -3\pi \le -\frac{8\pi}{3} \le -3\pi/2 \)
• \( -9\pi/3 \le -8\pi/3 \le -9\pi/6 \)
• \( -9 \le -8 \) (Верно). \( -8/3 \approx -2.67 \) и \(-3/2 = -1.5 \). \( -2.67 \) меньше \(-1.5 \). Значит, \(-8\pi/3 \) принадлежит отрезку.
• При \( n = 0 \): \( x = -\frac{2\pi}{3} \) (не принадлежит отрезку, т.к. \( -2\pi/3 \approx -0.67\pi \), а \(-3\pi/2 = -1.5\pi \), \(-0.67\pi \) больше \(-1.5\pi \) ).

Объединяя найденные корни:

Из первой серии: \( x = -3\pi \).

Из второй серии: \( x = -8\pi/3 \).

Ответ: \( -3\pi, -8\pi/3 \)