1. Решите уравнения: 1. 3cos²x-2sinx-2 = 0 2. 5 sin²x-3sinxcosx-2cos²x = 0

Решение уравнений:

1. 3cos²x - 2sin x - 2 = 0

   Заменим cos²x на 1 - sin²x:

   \[ 3(1 - \sin^2 x) - 2\sin x - 2 = 0 \]

   \[ 3 - 3\sin^2 x - 2\sin x - 2 = 0 \]

   \[ -3\sin^2 x - 2\sin x + 1 = 0 \]

   \[ 3\sin^2 x + 2\sin x - 1 = 0 \]

   Пусть \(t = \sin x\). Тогда:

   \[ 3t^2 + 2t - 1 = 0 \]

   Найдем корни квадратного уравнения:

   \[ t_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1)}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{6} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{6} = \frac{-2 \pm 4}{6} \]

   \[ t_1 = \frac{-2 + 4}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \]

   \[ t_2 = \frac{-2 - 4}{6} = \frac{-6}{6} = -1 \]

   Теперь вернемся к замене \(t = \sin x\):

   • \(\sin x = \frac{1}{3}\)
   • \(\sin x = -1\)

   Решения:

   • \(x = \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) + 2\pi k\), \(x = \pi - \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) + 2\pi k\), где \(k \in \mathbb{Z}\)
   • \(x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k\), где \(k \in \mathbb{Z}\)
2. 5 sin²x - 3sinxcosx - 2cos²x = 0

   Это однородное уравнение второй степени. Разделим обе части на cos²x (при условии, что cos x ≠ 0).

   Если cos x = 0, то x = \(\frac{\pi}{2} + \pi k\). Тогда sin²x = 1. Подставим в уравнение: 5(1) - 3(±1)(0) - 2(0) = 5 ≠ 0. Значит, cos x ≠ 0.

   \[ 5\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - 3\frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} - 2\frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0 \]

   \[ 5\tan^2 x - 3\tan x - 2 = 0 \]

   Пусть \(u = \tan x\). Тогда:

   \[ 5u^2 - 3u - 2 = 0 \]

   Найдем корни квадратного уравнения:

   \[ u_{1,2} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2)}}{2 \cdot 5} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 40}}{10} = \frac{3 \pm \sqrt{49}}{10} = \frac{3 \pm 7}{10} \]

   \[ u_1 = \frac{3 + 7}{10} = \frac{10}{10} = 1 \]

   \[ u_2 = \frac{3 - 7}{10} = \frac{-4}{10} = -\frac{2}{5} \]

   Теперь вернемся к замене \(u = \tan x\):

   • \(\tan x = 1\)
   • \(\tan x = -\frac{2}{5}\)

   Решения:

   • \(x = \frac{\pi}{4} + \pi k\), где \(k \in \mathbb{Z}\)
   • \(x = \arctan\left(-\frac{2}{5}\right) + \pi k\), где \(k \in \mathbb{Z}\)