1. Решите уравнения: 1. cos x = -1 / √2 2. sin (x / 2) = 9 / 7 3. 3 tg 2x = -√3 4. √3 ctg (x / 3 - ·/3) = 1

Решение уравнений:

1. Уравнение:

   \[ \cos x = -\frac{1}{\sqrt{2}} \]

   Решение:

   Значение √2/2 соответствует углу π/4. Косинус отрицателен во 2-й и 3-й четвертях.

   • \[ x = \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi n = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n \]
   • \[ x = \pi + \frac{\pi}{4} + 2\pi n = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n \]

   Ответ: ⁰x = ⁰±⁰3π/4 + 2πn, где n ⁰∈ ⁰ℤ.

2. Уравнение:

   \[ \sin\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{9}{7} \]

   Решение:

   Значение синуса не может быть больше 1. Так как ⁰9/7 > 1, это уравнение не имеет решений.

   Ответ: решений нет.

3. Уравнение:

   \[ 3 \operatorname{tg} 2x = -\sqrt{3} \]

   Решение:

   Разделим обе части на 3:

   \[ \operatorname{tg} 2x = -\frac{\sqrt{3}}{3} \]

   Значение тангенса ⁰√3/3 соответствует углу π/6. Тангенс отрицателен во 2-й и 4-й четвертях.

   • \[ 2x = \frac{5\pi}{6} + \pi n \]

   Разделим обе части на 2:

   • \[ x = \frac{5\pi}{12} + \frac{\pi n}{2} \]

   Ответ: ⁰x = ⁰5π/12 + πn/2, где n ⁰∈ ⁰ℤ.

4. Уравнение:

   \[ \sqrt{3} \operatorname{ctg}\left(\frac{x}{3} - \frac{\pi}{3}\right) = 1 \]

   Решение:

   Разделим обе части на √3:

   \[ \operatorname{ctg}\left(\frac{x}{3} - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}} \]

   Значение котангенса ⁰√3/3 соответствует углу π/3.

   • \[ \frac{x}{3} - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} + \pi n \]

   Прибавим π/3 к обеим частям:

   • \[ \frac{x}{3} = \frac{2\pi}{3} + \pi n \]

   Умножим обе части на 3:

   • \[ x = 3 \left(\frac{2\pi}{3} + \pi n\right) = 2\pi + 3\pi n \]

   Ответ: ⁰x = 2π + 3πn, где n ⁰∈ ⁰ℤ.