1. Решите уравнения: а) $\left(\frac{1}{5}\right)^{2-3x}=25$; б) $5^x-7\cdot5^{x-2}=90$; в) $36^x-4\cdot6^x-12=0$; г) $\sqrt{6x^2-3x-1}=\sqrt{2x-1}$; д) $\log_4(x^2-15x)=2$; е) $\log_2(x+1)+\log_2(x+3)=3$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 1. Решите уравнения: а) $\left(\frac{1}{5}\right)^{2-3x}=25$; б) $5^x-7\cdot5^{x-2}=90$; в) $36^x-4\cdot6^x-12=0$; г)…$ Фото задания

1. Решите уравнения: а) $\left(\frac{1}{5}\right)^{2-3x}=25$; б) $5^x-7\cdot5^{x-2}=90$; в) $36^x-4\cdot6^x-12=0$; г) $\sqrt{6x^2-3x-1}=\sqrt{2x-1}$; д) $\log_4(x^2-15x)=2$; е) $\log_2(x+1)+\log_2(x+3)=3$.

Accepted Answer

$\left(\frac15\right)^{2-3x}=25$. Так как $\frac15=5^{-1}$, а $25=5^2$, получаем $5^{-(2-3x)}=5^2$. Приравниваем показатели: $-2+3x=2$, откуда $x=\frac43$.
Выносим общий множитель: $5^{x-2}(25-7)=90$. Тогда $18\cdot5^{x-2}=90$, значит $5^{x-2}=5$, откуда $x=3$.
Положим $y=6^x$, где $y>0$. Тогда $y^2-4y-12=0$, то есть $(y-6)(y+2)=0$. С учётом $y>0$ имеем $y=6$, поэтому $6^x=6$ и $x=1$.
Для равенства квадратных корней необходимо равенство подкоренных выражений и неотрицательность обоих. Из $2x-1\ge0$ следует $x\ge\frac12$. Приравниваем подкоренные выражения: $6x^2-3x-1=2x-1$, откуда $x(6x-5)=0$. Корни уравнения — $0$ и $\frac56$; условию области определения удовлетворяет только $\frac56$.
По определению логарифма $x^2-15x=4^2=16$. Тогда $x^2-15x-16=0$, откуда $(x-16)(x+1)=0$. Оба корня дают положительный аргумент логарифма. Следовательно, $x=-1$ или $x=16$.
Область определения: $x>-1$. Объединяем логарифмы: $\log_2((x+1)(x+3))=3$, значит $(x+1)(x+3)=8$. Получаем $x^2+4x-5=0$, корни $1$ и $-5$. Области определения удовлетворяет только $x=1$.

Ответ: а) $\frac43$; б) 3; в) 1; г) $\frac56$; д) $-1, 16$; е) 1.

1. Решите уравнения: а) \(\left(\frac{1}{5}\right)^{2-3x}=25\); б) \(5^x-7\cdot5^{x-2}=90\); в) \(36^x-4\cdot6^x-12=0\); г) \(\sqrt{6x^2-3x-1}=\sqrt{2x-1}\); д) \(\log_4(x^2-15x)=2\); е) \(\log_2(x+1)+\log_2(x+3)=3\).

Ответ: