1. Решите уравнения: а) $\log_6(2+\log_2(3+x))=0$; б) $\log_3(2x^2+5x+6)=\lg 100$; в) $\lg(x(x-3))-\lg\frac{x-3}{4x}=0$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 1. Решите уравнения: а) $\log_6(2+\log_2(3+x))=0$; б) $\log_3(2x^2+5x+6)=\lg 100$; в) $\lg(x(x-3))-\lg\frac{x-3}{4x}=0$.$ Фото задания

1. Решите уравнения: а) $\log_6(2+\log_2(3+x))=0$; б) $\log_3(2x^2+5x+6)=\lg 100$; в) $\lg(x(x-3))-\lg\frac{x-3}{4x}=0$.

Accepted Answer

а) По определению логарифма:

$2+\log_2(3+x)=1$, так как $\log_6 A=0$ означает $A=1$.

Тогда $\log_2(3+x)=-1$, откуда $3+x=2^{-1}=\frac12$, поэтому $x=-\frac52$. Область определения соблюдена: $3+x=\frac12>0$.

б) $\lg 100=2$, поэтому $\log_3(2x^2+5x+6)=2$ и $2x^2+5x+6=9$.

$2x^2+5x-3=0$. Дискриминант: $D=25+24=49$. Следовательно, $x=\frac{-5\pm7}{4}$, то есть $x=\frac12$ или $x=-3$. Оба значения дают положительный аргумент логарифма.

в) Область определения: $x(x-3)>0$ и $\frac{x-3}{4x}>0$. Оба условия выполняются при $x<0$ или $x>3$.

При равенстве логарифмов их положительные аргументы равны:

$x(x-3)=\frac{x-3}{4x}$.

Умножаем на $4x$: $4x^2(x-3)=x-3$, то есть $(x-3)(4x^2-1)=0$.

Кандидаты: $x=3$, $x=\frac12$, $x=-\frac12$. Первые два не входят в область определения, поэтому остаётся $x=-\frac12$.

Ответ: а) $x=-\frac52$; б) $x=-3,\frac12$; в) $x=-\frac12$.

1. Решите уравнения: а) \(\log_6(2+\log_2(3+x))=0\); б) \(\log_3(2x^2+5x+6)=\lg 100\); в) \(\lg(x(x-3))-\lg\frac{x-3}{4x}=0\).

Ответ: