1) Решите уравнения. Вариант I: а) lg(x² − 9) = lg(4x + 3); б) lg(2x² + 3x) = lg(6x + 2); в) (log₅ x)² + log₅ x − 2 = 0; г) (log₄ x)² − 2log₄ x − 3 = 0. Вариант II: а) log₄(x² − 15x) = 2; б) log₂(x² − 2x) = 3; в) 2log(−x) = 1 + log(x + 4); г) 2log₃(−x) = 1 + log₃(x + 6).

Вариант I

1. ОДЗ: x² − 9 > 0 и 4x + 3 > 0, откуда x > 3. Равенство логарифмов с одинаковым основанием даёт x² − 9 = 4x + 3, то есть (x − 6)(x + 2) = 0. Корню −2 условие ОДЗ не удовлетворяет. Ответ: x = 6.

2. ОДЗ требует 2x² + 3x > 0 и 6x + 2 > 0, в частности x > −1/3. Приравниваем аргументы: 2x² + 3x = 6x + 2, откуда 2x² − 3x − 2 = 0 и (2x + 1)(x − 2) = 0. Корень −1/2 не входит в ОДЗ; x = 2 подходит. Ответ: x = 2.

3. Положим t = log₅ x. Тогда t² + t − 2 = 0, то есть (t − 1)(t + 2) = 0. Следовательно, t = 1 или t = −2, поэтому x = 5 или x = 1/25. Оба значения положительны. Ответ: x = 5; 1/25.

4. Положим t = log₄ x. Получаем t² − 2t − 3 = 0, то есть (t − 3)(t + 1) = 0. Тогда t = 3 или t = −1, откуда x = 64 или x = 1/4. Ответ: x = 64; 1/4.

Вариант II

1. Из log₄(x² − 15x) = 2 следует x² − 15x = 16. Решаем x² − 15x − 16 = 0: (x − 16)(x + 1) = 0. При x = 16 и x = −1 аргумент равен 16, поэтому оба корня допустимы. Ответ: x = −1; 16.

2. Из log₂(x² − 2x) = 3 следует x² − 2x = 8. Тогда x² − 2x − 8 = 0, или (x − 4)(x + 2) = 0. Для обоих корней аргумент равен 8 и положителен. Ответ: x = −2; 4.

3. ОДЗ: −4 < x < 0. Используем свойства логарифмов: log(x²) = log(10(x + 4)), следовательно, x² = 10x + 40. Корни уравнения x² − 10x − 40 = 0: x = 5 ± √65. ОДЗ удовлетворяет только 5 − √65. Ответ: x = 5 − √65.

4. ОДЗ: −6 < x < 0. Так как 1 = log₃ 3, получаем log₃(x²) = log₃(3(x + 6)), откуда x² = 3x + 18. Тогда (x − 6)(x + 3) = 0. ОДЗ удовлетворяет только x = −3. Ответ: x = −3.