№1. Решите задачу. Даша и Таня по очереди выписывают на доску цифры шестизначного числа. Сначала Даша выписывает первую цифру, затем Таня — вторую, и так далее. Таня хочет, чтобы полученное в результате число делилось на три, а Даша хочет ей помешать. Кто из них может добиться желаемого результата независимо от ходов соперницы?

Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3. Рассмотрим остатки суммы цифр при делении на 3.

1. После двух ходов (Даши и Тани) возможное изменение остатка суммы определяется остатками выбранных цифр.
2. Даша может при каждом своём ходе выбрать цифру с тем же остатком по модулю 3, что и цифра Тани на предыдущем ходе. Тогда сумма каждой пары цифр делится на 3.
3. После трёх таких пар сумма первых шести цифр будет делиться на 3, независимо от выбора Тани.

Следовательно, Даша может обеспечить делимость числа на 3. Если в условии подразумевается, что первая цифра шестизначного числа не может быть нулём, Даша всё равно может выбрать допустимую цифру с нужным остатком: для остатка 0 подойдёт 3, для остатка 1 — 1 или 4, для остатка 2 — 2 или 5.

Ответ: Даша может помешать Тане добиться делимости числа на 3, независимо от ходов Тани.