1. Решите задачу. Введите ответы в предложенное поле. В каждом поле введите только число без пробелов. В равностороннем треугольнике АВС проведены высоты AD и ВЕ. Окружность с центром в точке О и радиусом вписана в треугольник. ВО = 12 см. Вычислите r, EO, BE, AD и EC. Для иррациональных ответов найдите приближенное значение и округлите ответ до десятых.

Решение:

В равностороннем треугольнике центр вписанной и описанной окружности совпадает с точкой пересечения медиан, биссектрис и высот.

Точка О является центром описанной окружности, поэтому ВО — это радиус описанной окружности, равный R = 12 см.

В равностороннем треугольнике радиус вписанной окружности (r) равен половине радиуса описанной окружности (R):

\( r = \frac{R}{2} = \frac{12}{2} = 6 \) см.

В равностороннем треугольнике высота (h) равна:

\( h = \frac{\sqrt{3}}{2} a \), где a — сторона треугольника.

Также высота равна сумме радиусов вписанной и описанной окружностей:

\( h = r + R = 6 + 12 = 18 \) см.

Высоты AD и BE равны 18 см.

Точка О делит медиану (и высоту) в отношении 2:1, считая от вершины. Значит:

\( BO = \frac{2}{3} BE \) и \( EO = \frac{1}{3} BE \)

Из \( BO = 12 \) см, находим \( BE \):

\( BE = \frac{3}{2} BO = \frac{3}{2} \cdot 12 = 18 \) см.

Находим \( EO \):

\( EO = \frac{1}{2} BO = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6 \) см.

Таким образом, AD = BE = 18 см.

EC — это половина стороны AC, так как BE — высота и медиана. Сначала найдём сторону треугольника:

\( h = \frac{\sqrt{3}}{2} a \) → \( 18 = \frac{\sqrt{3}}{2} a \) → \( a = \frac{18 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{36}{\sqrt{3}} = \frac{36\sqrt{3}}{3} = 12\sqrt{3} \) см.

\( EC = \frac{1}{2} a = \frac{1}{2} \cdot 12\sqrt{3} = 6\sqrt{3} \) см.

Приближенное значение \( \sqrt{3} \approx 1.732 \):

\( EC \approx 6 \cdot 1.732 = 10.392 \) см. Округляем до десятых: 10.4 см.

Ответ:

r - 6 см.

EO - 6 см.

BE - 18 см.

DA - 18 см.

EC - 10.4 см.