1. Рис. 197. Запишите формулу для вычисления: а) MN, если MK = a, NK = b, ∠K = α; б) NK, если MK = a, ∠M = α, ∠K = β; в) ∠M, если MN = a, NK = b, MK = c.

Обозначим стороны, лежащие напротив углов M, N и K, соответственно: NK, MK и MN. Используем теорему косинусов и теорему синусов.

1. В треугольнике MNK известны стороны MK = a, NK = b и угол между ними ∠K = α. По теореме косинусов:

   MN² = a² + b² − 2ab cos α, поэтому MN = √(a² + b² − 2ab cos α).

2. Сначала находим третий угол: ∠N = 180° − α − β. По теореме синусов:

   NK / sin α = MK / sin ∠N, следовательно, NK = a sin α / sin(180° − α − β) = a sin α / sin(α + β).

3. По теореме косинусов для угла M, противолежащая сторона которого NK = b:

   b² = a² + c² − 2ac cos ∠M, откуда ∠M = arccos((a² + c² − b²) / (2ac)).