1. Рис. 695. Дано: ∠B = 60°, OAB:UBC = 7:5. Найти: ∠A, ∠C, ∠AOC.

1. Так как ∠B вписанный угол, опирающийся на дугу АС, то градусная мера дуги АС равна 2 * 60° = 120°.

2. Так как ∠AOC — центральный угол, опирающийся на дугу АС, то ∠AOC = 120°.

3. Так как треугольник AOB равнобедренный (OA=OB — радиусы), то ∠OAB = ∠OBA. Сумма углов в треугольнике AOB равна 180°, значит ∠AOB = 180° - 2∠OAB. Угол ∠AOB является центральным углом, опирающимся на дугу AB. Дуга AB = 360° - дуга BC - дуга AC. Отношение дуг OAB:UBC = 7:5. Пусть дуга AB = 7x, дуга BC = 5x. Тогда 7x + 5x + 120° = 360°. 12x = 240°. x = 20°. Дуга AB = 7 * 20° = 140°. Дуга BC = 5 * 20° = 100°.

4. Угол ∠AOC = 120°.

5. Угол ∠A = ∠OAB + ∠OAC. Угол ∠OAB = (180° - ∠AOB) / 2. ∠AOB = 140°. ∠OAB = (180° - 140°) / 2 = 20°. Угол ∠C = ∠OCB + ∠OCA. Угол ∠OCB = (180° - ∠BOC) / 2. ∠BOC = 100°. ∠OCB = (180° - 100°) / 2 = 40°. Угол ∠A = 20° + ∠OAC. Угол ∠C = 40° + ∠OCA. Угол ∠A + ∠C + ∠B = 180°. ∠A + ∠C + 60° = 180°. ∠A + ∠C = 120°. Угол ∠A = 20° + ∠OAC. Угол ∠C = 40° + ∠OCA. 20° + ∠OAC + 40° + ∠OCA = 120°. ∠OAC + ∠OCA = 60°. В треугольнике AOC, OA=OC, значит ∠OAC = ∠OCA. 2∠OAC = 60°. ∠OAC = 30°. ∠OCA = 30°. ∠A = 20° + 30° = 50°. ∠C = 40° + 30° = 70°.

Ответ: ∠A = 50°, ∠C = 70°, ∠AOC = 120°.