1. Рис. 695. Дано: ∠B = 60°, UAB : UBC = 7 : 5. Найти: ∠A, ∠C, ∠AOC. 2. Хорды MN и KP пересекаются в точке T. Найдите BN, если KT = 6 см, PT = 8 см, а длина MT в три раза меньше длины NT.

Question

1. Рис. 695. Дано: ∠B = 60°, UAB : UBC = 7 : 5. Найти: ∠A, ∠C, ∠AOC. 2. Хорды MN и KP пересекаются в точке T. Найдите BN, если KT = 6 см, PT = 8 см, а длина MT в три раза меньше длины NT.

Фото задания

Accepted Answer

Решение:

1. Анализ условия и рисунка:

На рисунке изображена окружность с центром O и вписанный треугольник ABC.
Дано: \( \angle B = 60^{\circ} \), отношение дуг \( \stackrel{\frown}{AB} : \stackrel{\frown}{BC} = 7:5 \).
Нужно найти: \( \angle A \), \( \angle C \), \( \angle AOC \).

2. Нахождение мер дуг:

Пусть \( \stackrel{\frown}{AB} = 7x \) и \( \stackrel{\frown}{BC} = 5x \).
Угол \( \angle B \) — вписанный, он опирается на дугу \( \stackrel{\frown}{AC} \). Мера вписанного угла равна половине меры дуги, на которую он опирается: \( \angle B = \frac{1}{2} \stackrel{\frown}{AC} \).
Следовательно, \( \stackrel{\frown}{AC} = 2 \cdot \angle B = 2 \cdot 60^{\circ} = 120^{\circ} \).
Общая мера окружности равна \( 360^{\circ} \). Значит, \( \stackrel{\frown}{AB} + \stackrel{\frown}{BC} + \stackrel{\frown}{AC} = 360^{\circ} \).
Подставляем известные значения: \( 7x + 5x + 120^{\circ} = 360^{\circ} \).
\( 12x = 360^{\circ} - 120^{\circ} \).
\( 12x = 240^{\circ} \).
\( x = \frac{240^{\circ}}{12} = 20^{\circ} \).
Тогда \( \stackrel{\frown}{AB} = 7x = 7 \cdot 20^{\circ} = 140^{\circ} \) и \( \stackrel{\frown}{BC} = 5x = 5 \cdot 20^{\circ} = 100^{\circ} \).
Проверка: \( 140^{\circ} + 100^{\circ} + 120^{\circ} = 360^{\circ} \).

3. Нахождение углов треугольника:

Угол \( \angle A \) — вписанный, опирается на дугу \( \stackrel{\frown}{BC} \): \( \angle A = \frac{1}{2} \stackrel{\frown}{BC} = \frac{1}{2} \cdot 100^{\circ} = 50^{\circ} \).
Угол \( \angle C \) — вписанный, опирается на дугу \( \stackrel{\frown}{AB} \): \( \angle C = \frac{1}{2} \stackrel{\frown}{AB} = \frac{1}{2} \cdot 140^{\circ} = 70^{\circ} \).
Проверка: \( \angle A + \angle B + \angle C = 50^{\circ} + 60^{\circ} + 70^{\circ} = 180^{\circ} \).

4. Нахождение центрального угла:

Угол \( \angle AOC \) — центральный, опирается на дугу \( \stackrel{\frown}{AC} \): \( \angle AOC = \stackrel{\frown}{AC} = 120^{\circ} \).

5. Решение второй задачи:

Дано: хорды MN и KP пересекаются в точке T. \( KT = 6 \) см, \( PT = 8 \) см, \( MT = \frac{1}{3} NT \).
Нужно найти: \( BN \).
По свойству пересекающихся хорд (теорема о секущих): произведение отрезков каждой хорды равны.
\( MT \cdot NT = KT \cdot PT \).
Пусть \( MT = y \), тогда \( NT = 3y \) (так как \( MT \) в три раза меньше \( NT \)).
Подставляем значения: \( y \cdot 3y = 6 \cdot 8 \).
\( 3y^2 = 48 \).
\( y^2 = \frac{48}{3} = 16 \).
\( y = \sqrt{16} = 4 \) см (длина не может быть отрицательной).
Значит, \( MT = 4 \) см.
\( NT = 3y = 3 \cdot 4 = 12 \) см.
Длина хорды KP = KT + PT = 6 + 8 = 14 см.
Длина хорды MN = MT + NT = 4 + 12 = 16 см.
В условии задачи просят найти BN, но для этого недостаточно данных. Возможно, в задании подразумевалось найти длину MN или BN, если известно, что BN является частью какой-то другой фигуры или имеет определенное отношение к MN.
Если предположить, что в задаче опечатка и просят найти длину хорды MN, то MN = 16 см.
Если же просят найти BN, то без дополнительных условий (например, равенства дуг, углов или других отрезков) найти BN невозможно.

Предполагая, что в задаче опечатка и нужно найти длину хорды MN:

Ответ: ∠A = 50°, ∠C = 70°, ∠AOC = 120°. Длина хорды MN = 16 см.