1. («Росатом», 2019, 7.3) Несколько московских дворов договорились участвовать в турнире по футболу по следующим правилам: каждый с каждым играет мини турнир, состоящий из пяти матчей. После окончания соревнований оказалось, что всего было сыграно 180 игр. Сколько дворов участвовало в турнире?

Решение:

1. Обозначим количество дворов, участвовавших в турнире, через \( n \).
2. По условию, каждый двор играет с каждым. Количество игр в таком турнире вычисляется по формуле числа сочетаний из \( n \) по 2: \( C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2} \).
3. Однако, в условии сказано, что каждый с каждым играет мини-турнир, состоящий из пяти матчей. Это означает, что каждая пара команд сыграла между собой 5 игр.
4. Общее количество сыгранных игр равно произведению числа пар команд на количество игр между каждой парой: \( \text{Общее количество игр} = C_n^2 \times 5 \).
5. По условию, всего было сыграно 180 игр. Составим уравнение: \( \frac{n(n-1)}{2} \times 5 = 180 \).
6. Решим уравнение:
• \( \frac{n(n-1)}{2} = \frac{180}{5} \)
• \( \frac{n(n-1)}{2} = 36 \)
• \( n(n-1) = 36 \times 2 \)
• \( n(n-1) = 72 \)
• \( n^2 - n - 72 = 0 \)
7. Решим квадратное уравнение \( n^2 - n - 72 = 0 \) с помощью дискриминанта:
• \( D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-72) = 1 + 288 = 289 \)
• \( \sqrt{D} = \sqrt{289} = 17 \)
• \( n_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 17}{2} = \frac{18}{2} = 9 \)
• \( n_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 17}{2} = \frac{-16}{2} = -8 \)
8. Так как количество дворов не может быть отрицательным, выбираем положительное значение \( n = 9 \).

Ответ: 9 дворов.