1) С помощью союзной матрицы найти обратную для матрицы A = ((2, 5, 7), (6, 3, 4), (5, −2, −3)). Проверить, что AA⁻¹ = E.

Вычислим определитель матрицы:

\(\det A=2(-9+8)-5(-18-20)+7(-12-15)=-1\).

Найдём матрицу алгебраических дополнений:

\(C=\begin{pmatrix}-1&38&-27\\1&-41&29\\12&34&-24\end{pmatrix}\).

Тогда союзная матрица и обратная матрица равны:

\(A^*=C^T=\begin{pmatrix}-1&1&12\\38&-41&34\\-27&29&-24\end{pmatrix}\),
\(A^{-1}=\dfrac{1}{\det A}A^*=\begin{pmatrix}1&-1&-12\\-38&41&-34\\27&-29&24\end{pmatrix}\).

Проверка умножением:

\(AA^{-1}=\begin{pmatrix}2&5&7\\6&3&4\\5&-2&-3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-1&-12\\-38&41&-34\\27&-29&24\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}=E\).

Ответ: \(A^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1&-12\\-38&41&-34\\27&-29&24\end{pmatrix}\).