1. Сергей задумал двузначное число. Затем между цифрами этого числа он вписал цифру 9 и получил трёхзначное число, которое оказалось в n раз больше исходного, причём n — натуральное число, большее 11 и меньшее 19. Чему могло быть равно n? Выберите все возможные верные варианты для n от 12 до 18: 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18.

Пусть исходное число имеет вид \(10a+b\), где \(a\) — цифра десятков, а \(b\) — цифра единиц. После вставки цифры 9 получаем число \(100a+90+b\).

По условию \(100a+90+b=n(10a+b)\). Проверим целые цифры \(a\) и \(b\) для каждого предложенного значения.

1. При \(n=13\): \(100a+90+b=130a+13b\), откуда \(5a+2b=15\). Подходят \((a,b)=(1,5)\) и \((3,0)\), значит, возможны исходные числа 15 и 30.
2. При \(n=16\): \(100a+90+b=160a+16b\), откуда \(4a+b=6\). Подходит \((a,b)=(1,2)\), значит, исходное число — 12.

Для остальных вариантов \(n=12,14,15,17,18\) уравнение не даёт цифр \(a\) и \(b\), удовлетворяющих условиям.

Ответ: 13 и 16.