1. Сформулировать определение, свойства и признаки прямоугольника (при затруднении обратиться к Справочнику) 2. Решить задачи: а) Найти стороны прямоугольника, если одна из них на 4 см меньше другой, а периметр прямоугольника равен 40 см. б) Из точки Е, взятой на стороне ВС прямоугольника ABCD, опущен перпендикуляр EF на сторону AD. Доказать, что ABEF - прямоугольник.

1. Определение, свойства и признаки прямоугольника

Определение: Прямоугольник — это четырёхугольник, у которого все углы прямые (равны 90°).

Свойства:

• Противоположные стороны равны и параллельны.
• Все углы равны 90°.
• Диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам.

Признаки:

• Если в параллелограмме есть один прямой угол, то этот параллелограмм — прямоугольник.
• Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм — прямоугольник.

2. Задачи

а) Найти стороны прямоугольника, если одна из них на 4 см меньше другой, а периметр прямоугольника равен 40 см.

Дано:

Прямоугольник ABCD.

Периметр P = 40 см.

Пусть одна сторона = x см, тогда другая сторона = (x - 4) см.

Найти:

Стороны прямоугольника.

Решение:

Периметр прямоугольника вычисляется по формуле: \( P = 2(a+b) \), где a и b — стороны прямоугольника.

Подставим известные значения:

\( 40 = 2(x + (x - 4)) \)

\( 40 = 2(2x - 4) \)

\( 40 = 4x - 8 \)

\( 40 + 8 = 4x \)

\( 48 = 4x \)

\( x = \frac{48}{4} \)

\( x = 12 \) см — одна сторона.

Вторая сторона: \( 12 - 4 = 8 \) см.

Ответ: Стороны прямоугольника равны 12 см и 8 см.

б) Из точки Е, взятой на стороне ВС прямоугольника ABCD, опущен перпендикуляр EF на сторону AD. Доказать, что ABEF — прямоугольник.

Дано:

Прямоугольник ABCD.

Точка E на стороне BC.

EF ⊥ AD (EF — перпендикуляр).

Доказать:

ABEF — прямоугольник.

Доказательство:

1. Так как ABCD — прямоугольник, то AD || BC и AB || DC. Также все углы прямоугольника равны 90° (\( \angle A = \angle B = \angle C = \angle D = 90° \)).

2. Так как EF ⊥ AD, то \( \angle AFE = 90° \) и \( \angle EFD = 90° \).

3. Рассмотрим четырёхугольник ABEF. У него:

• AB || EF (так как AB || DC, а EF лежит на прямой, перпендикулярной AD, и AD || BC, то EF перпендикулярна и BC, значит EF || AB, так как оба перпендикулярны AD).
• AF || BE (так как AF лежит на AD, а BE лежит на BC, и AD || BC).

• \( \angle A = 90° \) (угол прямоугольника ABCD).

• \( \angle AFE = 90° \) (по условию, так как EF ⊥ AD).

4. У четырёхугольника ABEF два противоположных угла прямые (\( \angle A \) и \( \angle AFE \)).

5. Так как AB || EF, то \( \angle B = \angle AFE = 90° \) (как соответственные углы при параллельных прямых AB и EF и секущей BE). Однако, это не совсем верно. Правильнее так:

В четырёхугольнике ABEF:

• \( \angle A = 90° \) (угол прямоугольника ABCD).

• \( \angle B = 90° \) (угол прямоугольника ABCD).

• \( \angle AEF = 90° \) (так как EF ⊥ AD, и AB || DC, а AD || BC, значит EF перпендикулярна BC, и так как AB || DC, то EF перпендикулярна и AB, если бы E была на BC и F на AD, но EF это перпендикуляр, опущенный из E на AD. Тогда EF || AB, так как оба перпендикулярны AD).

• \( \angle A = 90° \) (угол прямоугольника ABCD).

• \( \angle B = 90° \) (угол прямоугольника ABCD).

• EF ⊥ AD, значит \( \angle AFE = 90° \).

• Так как EF ⊥ AD, а AD || BC, то EF ⊥ BC. Значит \( \angle BEF = 90° \).

Таким образом, у четырёхугольника ABEF все четыре угла прямые: \( \angle A = 90°, \angle B = 90°, \angle BEF = 90°, \angle AFE = 90° \).

Следовательно, ABEF — прямоугольник по определению.

Доказано.