1. Сформулируйте определение параллелограмма и перечислите его основные свойства. 2. Запишите теорему Пифагора и теорему, обратную ей. 3. Дайте определение подобных треугольников. Сформулируйте первый признак подобия. 4. Что такое вписанный угол? Сформулируйте теорему о его величине. 5. Запишите формулы площади: а) прямоугольника; б) параллелограмма; в) трапеции.

Часть А. Теоретические вопросы

1. Параллелограмм

Определение: Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Основные свойства:

• Противоположные стороны равны.
• Противоположные углы равны.
• Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
• Сумма углов, прилежащих к любой стороне, равна 180° (они являются соседними).

2. Теорема Пифагора и обратная ей

Теорема Пифагора: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Формула: \( c^2 = a^2 + b^2 \), где \( c \) — гипотенуза, \( a \) и \( b \) — катеты.

Теорема, обратная теореме Пифагора: Если в треугольнике квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон, то этот треугольник — прямоугольный. Причём прямой угол лежит против большей стороны.

Формула: Если \( c^2 = a^2 + b^2 \), то \( \angle C = 90^\circ \).

3. Подобные треугольники

Определение: Два треугольника называются подобными, если их соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны.

Первый признак подобия треугольников: Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Формула: Если \( \angle A = \angle A_1 \) и \( \angle B = \angle B_1 \), то \( \triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1 \).

4. Вписанный угол

Определение: Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.

Теорема о величине вписанного угла: Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу (или половине градусной меры дуги, заключённой между его сторонами).

Формула: \( \alpha = \frac{1}{2} \beta \), где \( \alpha \) — вписанный угол, \( \beta \) — центральный угол, опирающийся на ту же дугу.

5. Формулы площади

а) Прямоугольник:

\( S = a \cdot b \), где \( a \) и \( b \) — стороны прямоугольника.

б) Параллелограмм:

\( S = a \cdot h_a \), где \( a \) — сторона параллелограмма, \( h_a \) — высота, проведённая к этой стороне.

в) Трапеция:

\( S = \frac{a+b}{2} \cdot h \), где \( a \) и \( b \) — основания трапеции, \( h \) — высота трапеции.