1) Сформулируйте теорему Фалеса, теорему о пропорциональных отрезках. 2) Сформулируйте и докажите свойство отрезков пересекающихся хорд. 3) Сторона ромба равна 34, а острый угол равен 60°. Высота ромба, опущенная из вершины тупого угла, делит сторону на два отрезка. Каковы длины этих отрезков. 4) Точка Н является основанием высоты ВН, проведенной из вершины прямого угла в прямоугольного треугольника АВС. Окружность с диаметром Вн пересекает стороны АВ и СВ в точках М и F соответственно. Найдите длину MF, если ВН=15.

Решение:

1. Теорема Фалеса: Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной стороне пропорциональные отрезки, то они отсекают пропорциональные отрезки и на другой стороне.
2. Теорема о пропорциональных отрезках (о пересекающихся хордах): Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.
3. Доказательство свойства отрезков пересекающихся хорд: Пусть хорды AB и CD пересекаются в точке P. Рассмотрим треугольники APC и BPD. Углы APC и BPD равны как вертикальные. Углы CAB (угол A) и CDB (угол D) равны как вписанные, опирающиеся на одну дугу CB. Следовательно, треугольники APC и BPD подобны по двум углам. Из подобия следует пропорция: AP/PD = CP/BP, откуда AP * BP = CP * PD.
4. Задача о ромбе:

   Дано:

   • Ромб ABCD
   • Сторона a = 34
   • Острый угол α = 60°
   • BH ⊥ AD (высота из вершины тупого угла B)

   Найти: Длины отрезков, на которые высота делит сторону.

   Решение:

   1. В ромбе противолежащие углы равны, а сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°. Острый угол A = 60°, значит, тупой угол B = 180° - 60° = 120°. Высота BH опущена из вершины тупого угла B на сторону AD.
   2. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. Угол BAH = 60° (так как это угол ромба). Гипотенуза AB = 34.
   3. Высота BH является катетом, противолежащим углу A. Она равна: BH = AB * sin(60°) = 34 * √3/2 = 17√3.
   4. Отрезок AH является катетом, прилежащим к углу A. Он равен: AH = AB * cos(60°) = 34 * 1/2 = 17.
   5. Так как BH опущена из вершины тупого угла B, то основание высоты H лежит на стороне AD. Высота делит сторону AD на два отрезка: AH и HD.
   6. Мы нашли AH = 17.
   7. Второй отрезок HD = AD - AH. Так как AD - это сторона ромба, то AD = 34.
   8. HD = 34 - 17 = 17.
   9. Таким образом, высота BH делит сторону AD на два отрезка длиной 17 и 17.

   Ответ: 17 и 17.

5. Задача о прямоугольном треугольнике:

   Дано:

   • △ABC, ∠B = 90°
   • BH ⊥ AC (BH - высота)
   • Окружность с диаметром BH
   • M ∈ AB, F ∈ BC
   • BH = 15

   Найти: Длину отрезка MF.

   Решение:

   1. Окружность с диаметром BH проходит через точки M и F. Угол BMF и угол BFM являются вписанными углами, опирающимися на диаметр BH. Следовательно, ∠BMF = 90° и ∠BFM = 90°.
   2. Рассмотрим △ABC. Высота BH, проведенная из вершины прямого угла, обладает свойством: BH² = AH * HC. Также, стороны треугольника связаны с высотой: AB² = AH * AC и BC² = HC * AC.
   3. Так как ∠BMF = 90°, то MF является высотой в прямоугольном треугольнике △B M F.
   4. Угол ∠ABC = 90°. Точки M лежит на AB, F лежит на BC.
   5. Рассмотрим △ABH. Угол BMA = 90°.
   6. Рассмотрим △CBH. Угол BFC = 90°.
   7. В △ABC, BH - высота. Окружность с диаметром BH. Точки M и F лежат на этой окружности.
   8. Так как BH - диаметр, то ∠BMH = 90° и ∠BFH = 90°.
   9. Рассмотрим △ABC. Угол B = 90°. BH ⊥ AC.
   10. Угол MBF = 90°.
   11. Рассмотрим △ABC. Углы A и C.
   12. В △ABH, ∠BHA = 90°.
   13. В △CBH, ∠BHC = 90°.
   14. Рассмотрим △ABC. Угол B = 90°. BH - высота.
   15. Точка M лежит на AB, точка F лежит на BC. Окружность с диаметром BH.
   16. Угол ∠BMH = 90°.
   17. Угол ∠BFH = 90°.
   18. Угол ∠MBF = 90°.
   19. Рассмотрим △ABC. Пусть ∠BAC = α. Тогда ∠BCA = 90° - α.
   20. В △ABH, ∠ABH = 90° - α.
   21. В △CBH, ∠CBH = α.
   22. В △BMH, ∠BMH = 90°. Угол ∠MBH = 90° - α. Тогда ∠BHM = α.
   23. В △BFH, ∠BFH = 90°. Угол ∠FBH = α. Тогда ∠BHF = 90° - α.
   24. Рассмотрим △MBF. Угол ∠MBF = 90°.
   25. Угол ∠BMF = 90° (опирается на диаметр BH).
   26. Угол ∠BFM = 90° (опирается на диаметр BH).
   27. Это означает, что четырехугольник M B F H вписан в окружность с диаметром BH.
   28. Так как ∠MBF = 90°, то M B F H является прямоугольником.
   29. В прямоугольнике диагонали равны. Диагонали - это BH и MF.
   30. Следовательно, MF = BH.
   31. Дано BH = 15.
   32. Значит, MF = 15.

   Ответ: 15.