1. Шар массой 1 кг упруго сталкивается с шаром неизвестной массы. Полученные ими ускорения равны 0,2 м/с² и 0,4 м/с² соответственно. Найдите массу второго шара.

Решение:

По закону сохранения импульса, если шар массой \( m_1 = 1 \) кг сталкивается с шаром массой \( m_2 \), то суммарный импульс до столкновения равен суммарному импульсу после столкновения. Так как столкновение упругое, закон сохранения энергии также выполняется.

Обозначим начальные скорости шаров как \( v_1 \) и \( v_2 \), а конечные скорости как \( v'_1 \) и \( v'_2 \).

Из закона сохранения импульса:

\[ m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 v'_1 + m_2 v'_2 \]

Из закона сохранения кинетической энергии:

\[ \frac{1}{2} m_1 v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2^2 = \frac{1}{2} m_1 (v'_1)^2 + \frac{1}{2} m_2 (v'_2)^2 \]

Ускорения, полученные шарами, связаны с их скоростями. Обозначим ускорения \( a_1 = 0,2 \) м/с² и \( a_2 = 0,4 \) м/с².

Для упругого столкновения двух тел, когда одно из тел неподвижно (например, \( v_2 = 0 \) и \( v'_1 = -v_1 \)), справедливы соотношения:

\[ v'_1 = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} v_1 \]\[ v'_2 = \frac{2 m_1}{m_1 + m_2} v_1 \]

Из этих соотношений можно выразить массы. Однако, задача формулирует ускорение, полученное каждым шаром, что может быть интерпретировано как изменение скорости за единицу времени, если время столкновения известно, или как характеристика силы, действующей на шар, если время столкновения одинаково.

Примем, что ускорения пропорциональны силе, действующей на шар, согласно второму закону Ньютона \( F = ma \).

В импульсном приближении, если время столкновения \( \Delta t \) одинаково для обоих шаров, то изменение импульса \( m \Delta v \) равно силе, умноженной на время. Изменение скорости \( \Delta v \) связано с ускорением \( a \) как \( \Delta v = a \Delta t \).

Сила, действующая на первый шар, равна \( F_1 = m_1 a_1 \). Сила, действующая на второй шар, равна \( F_2 = m_2 a_2 \). По третьему закону Ньютона, \( |F_1| = |F_2| \).

\[ m_1 a_1 = m_2 a_2 \]

Подставляем известные значения:

\[ 1 \text{ кг} \cdot 0,2 \text{ м/с}^2 = m_2 \cdot 0,4 \text{ м/с}^2 \]

Теперь найдём \( m_2 \):

\[ m_2 = \frac{1 \text{ кг} \cdot 0,2 \text{ м/с}^2}{0,4 \text{ м/с}^2} \]\[ m_2 = \frac{0,2}{0,4} \text{ кг} \]\[ m_2 = 0,5 \text{ кг} \]

Ответ: 0,5 кг.