1. sin(x + pi/6) - sqrt(3)sin(pi - x) = 0

Решение:

Данное уравнение:

\[ \sin \left( x + \frac{\pi}{6} \right) - \sqrt{3} \sin \left( \pi - x \right) = 0 \]

Используем формулы:

• \( \sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \)
• \( \sin(\pi - \alpha) = \sin \alpha \)

Подставляем в уравнение:

\[ \left( \sin x \cos \frac{\pi}{6} + \cos x \sin \frac{\pi}{6} \right) - \sqrt{3} \sin x = 0 \]

Значения синуса и косинуса для \( \frac{\pi}{6} \):

• \( \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
• \( \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \)

Подставляем значения:

\[ \left( \sin x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos x \cdot \frac{1}{2} \right) - \sqrt{3} \sin x = 0 \]

Упрощаем выражение:

\[ \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x + \frac{1}{2} \cos x - \sqrt{3} \sin x = 0 \]

Приводим подобные слагаемые (члены с \( \sin x \)):

\[ \frac{1}{2} \cos x + \left( \frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3} \right) \sin x = 0 \]
\[ \frac{1}{2} \cos x + \left( \frac{\sqrt{3} - 2\sqrt{3}}{2} \right) \sin x = 0 \]
\[ \frac{1}{2} \cos x - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x = 0 \]

Умножим всё уравнение на 2:

\[ \cos x - \sqrt{3} \sin x = 0 \]

Если \( \cos x = 0 \), то \( x = \frac{\pi}{2} + \pi k \). Подставив в уравнение, получим \( 0 - \sqrt{3} \cdot (\pm 1)
e 0 \). Значит, \( \cos x
e 0 \).

Разделим обе части на \( \cos x \):

\[ 1 - \sqrt{3} \frac{\sin x}{\cos x} = 0 \]

Так как \( \frac{\sin x}{\cos x} = \tan x \):

\[ 1 - \sqrt{3} \tan x = 0 \]

Выразим \( \tan x \):

\[ \sqrt{3} \tan x = 1 \]
\[ \tan x = \frac{1}{\sqrt{3}} \]

Общее решение уравнения \( \tan x = a \) имеет вид \( x = \arctan a + \pi k \), где \( k \) — целое число.

Для \( \tan x = \frac{1}{\sqrt{3}} \) частный случай:

\[ x = \frac{\pi}{6} \]

Общее решение:

\[ x = \frac{\pi}{6} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Нам нужно найти корни, принадлежащие промежутку \( \left[ \frac{\pi}{2}; \pi \right] \).

• При \( k = 0 \): \( x = \frac{\pi}{6} \). Это значение НЕ входит в промежуток \( \left[ \frac{\pi}{2}; \pi \right] \) (т.к. \( \frac{\pi}{6} < \frac{\pi}{2} \)).
• При \( k = 1 \): \( x = \frac{\pi}{6} + \pi = \frac{7\pi}{6} \). Это значение НЕ входит в промежуток \( \left[ \frac{\pi}{2}; \pi \right] \) (т.к. \( \frac{7\pi}{6} > \pi \)).
• При \( k = -1 \): \( x = \frac{\pi}{6} - \pi = -\frac{5\pi}{6} \). Это значение НЕ входит в промежуток.

Проверим ещё раз условие: \( \tan x = \frac{1}{\sqrt{3}} \). Для \( x = \frac{\pi}{2} \) тангенс не определён. Для \( x = \pi \) тангенс равен 0. Значит, нам нужно найти \( x \) в \( \left[ \frac{\pi}{2}; \pi \right] \) такое, что \( \tan x = \frac{1}{\sqrt{3}} \). Однако, на этом промежутке \( \tan x \) отрицателен или равен 0 (при \( x = \pi \)). Это означает, что на данном промежутке решения нет.

Ответ: Нет решений на заданном промежутке.