1. Случайная величина распределена по закону: X ~ ([-3, 0, 1, 4], [1/6, 1/12, 1/2, 1/4]). а) Найдите математическое ожидание случайной величины 2X + 3. б) Найдите EX^2. в) Найдите дисперсию случайной величины X. г) Найдите дисперсию случайной величины 3X – 5.

Решение:

Для решения задачи нам дана случайная величина X, которая принимает значения -3, 0, 1, 4 с соответствующими вероятностями 1/6, 1/12, 1/2, 1/4.

1. Математическое ожидание 2X + 3:

   Сначала найдем математическое ожидание E(X):

   • E(X) = \( (-3) \times \frac{1}{6} + 0 \times \frac{1}{12} + 1 \times \frac{1}{2} + 4 \times \frac{1}{4} \)
   • E(X) = \( -\frac{3}{6} + 0 + \frac{1}{2} + 1 \)
   • E(X) = \( -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + 1 \)
   • E(X) = 1

   Теперь используем свойство линейности математического ожидания: E(aX + b) = aE(X) + b.

   • E(2X + 3) = 2 \times E(X) + 3
   • E(2X + 3) = 2 \times 1 + 3
   • E(2X + 3) = 2 + 3
   • E(2X + 3) = 5
2. Найдем E(X^2):

   Сначала вычислим квадраты значений случайной величины:

   • \( (-3)^2 = 9 \)
   • \( 0^2 = 0 \)
   • \( 1^2 = 1 \)
   • \( 4^2 = 16 \)

   Теперь вычислим математическое ожидание E(X^2):

   • E(X^2) = \( 9 \times \frac{1}{6} + 0 \times \frac{1}{12} + 1 \times \frac{1}{2} + 16 \times \frac{1}{4} \)
   • E(X^2) = \( \frac{9}{6} + 0 + \frac{1}{2} + 4 \)
   • E(X^2) = \( \frac{3}{2} + \frac{1}{2} + 4 \)
   • E(X^2) = \( \frac{4}{2} + 4 \)
   • E(X^2) = 2 + 4
   • E(X^2) = 6
3. Найдем дисперсию случайной величины X:

   Используем формулу D(X) = E(X^2) - (E(X))^2.

   • D(X) = 6 - (1)^2
   • D(X) = 6 - 1
   • D(X) = 5
4. Найдем дисперсию случайной величины 3X – 5:

   Используем свойство дисперсии: D(aX + b) = a^2 \times D(X).

   • D(3X - 5) = (3)^2 \times D(X)
   • D(3X - 5) = 9 \times 5
   • D(3X - 5) = 45

Ответ:

• а) Математическое ожидание 2X + 3 равно 5.
• б) E(X^2) равно 6.
• в) Дисперсия случайной величины X равна 5.
• г) Дисперсия случайной величины 3X – 5 равна 45.