1. Сократите дробь: а) 45/81; б) 72/96; в) 187/510. 2. Сравните дроби: а) 8/7 и 9/7; б) 7/9 и 5/6; в) 39/40 и 40/41. 3. Вычислите: а) 11/17 + 3/17; б) 7/8 - 3/5; в) 10/21 + 3/7; г) 7/26 - 1/39. 4. Посадили 56 деревьев, 7/8 посаженных деревьев прижилось. Сколько деревьев не прижилось? 5. Учитель проверил 21 тетрадь, что составило 3/7 всех тетрадей. Сколько тетрадей осталось проверить учителю? 6. Известно, что 3/5 класса пошли в кино, 2/3 - на выставку. Сколько учащихся в классе, если их больше 25, но меньше 35?

1. Сокращение дробей:

1. а) \[ \frac{45}{81} \] Разделим числитель и знаменатель на 9: \[ \frac{45 \div 9}{81 \div 9} = \frac{5}{9} \]
2. б) \[ \frac{72}{96} \] Разделим числитель и знаменатель на 24: \[ \frac{72 \div 24}{96 \div 24} = \frac{3}{4} \]
3. в) \[ \frac{187}{510} \] Эта дробь несократима, так как 187 = 11 * 17, а 510 = 2 * 3 * 5 * 17. Общий делитель - 17. \[ \frac{187 \div 17}{510 \div 17} = \frac{11}{30} \]

2. Сравнение дробей:

1. а) \[ \frac{8}{7} \] и \[ \frac{9}{7} \] Дроби с одинаковыми знаменателями сравниваются по числителям. Так как 8 < 9, то \[ \frac{8}{7} < \frac{9}{7} \]
2. б) \[ \frac{7}{9} \] и \[ \frac{5}{6} \] Приведем к общему знаменателю 18: \[ \frac{7 \times 2}{9 \times 2} = \frac{14}{18} \], \[ \frac{5 \times 3}{6 \times 3} = \frac{15}{18} \] Так как 14 < 15, то \[ \frac{7}{9} < \frac{5}{6} \]
3. в) \[ \frac{39}{40} \] и \[ \frac{40}{41} \] Сравним с 1. \[ 1 - \frac{39}{40} = \frac{1}{40} \], \[ 1 - \frac{40}{41} = \frac{1}{41} \] Так как \[ \frac{1}{40} > \frac{1}{41} \], то \[ \frac{39}{40} < \frac{40}{41} \]

3. Вычисление:

1. а) \[ \frac{11}{17} + \frac{3}{17} = \frac{11 + 3}{17} = \frac{14}{17} \]
2. б) \[ \frac{7}{8} - \frac{3}{5} \] Общий знаменатель 40: \[ \frac{7 \times 5}{8 \times 5} - \frac{3 \times 8}{5 \times 8} = \frac{35}{40} - \frac{24}{40} = \frac{35 - 24}{40} = \frac{11}{40} \]
3. в) \[ \frac{10}{21} + \frac{3}{7} \] Общий знаменатель 21: \[ \frac{10}{21} + \frac{3 \times 3}{7 \times 3} = \frac{10}{21} + \frac{9}{21} = \frac{10 + 9}{21} = \frac{19}{21} \]
4. г) \[ \frac{7}{26} - \frac{1}{39} \] Общий знаменатель 78: \[ \frac{7 \times 3}{26 \times 3} - \frac{1 \times 2}{39 \times 2} = \frac{21}{78} - \frac{2}{78} = \frac{21 - 2}{78} = \frac{19}{78} \]

4. Деревья:

Если прижилось \[ \frac{7}{8} \] посаженных деревьев, то не прижилось \[ 1 - \frac{7}{8} = \frac{1}{8} \] деревьев.

Число неприжившихся деревьев: \[ 56 \times \frac{1}{8} = \frac{56}{8} = 7 \] деревьев.

Ответ: 7 деревьев.

5. Тетради:

Если 21 тетрадь составляет \[ \frac{3}{7} \] всех тетрадей, то общее количество тетрадей равно:

\[ 21 \div \frac{3}{7} = 21 \times \frac{7}{3} = \frac{21 \times 7}{3} = 7 \times 7 = 49 \] тетрадей.

Количество тетрадей, оставшихся проверить: \[ 49 - 21 = 28 \] тетрадей.

Ответ: 28 тетрадей.

6. Учащиеся в классе:

Пусть x - общее количество учащихся в классе.

Учащихся, пошедших в кино: \[ \frac{3}{5}x \]

Учащихся, пошедших на выставку: \[ \frac{2}{3}x \]

Общее количество учащихся, пошедших в кино или на выставку, должно быть равно общему количеству учащихся в классе, так как других вариантов не указано, а в задаче сказано, что часть класса пошла в кино, а часть - на выставку, что подразумевает, что все классы распределены между этими двумя группами.

\[ \frac{3}{5}x + \frac{2}{3}x = x \]

Приведем к общему знаменателю 15:

\[ \frac{3 \times 3}{5 \times 3}x + \frac{2 \times 5}{3 \times 5}x = x \] \[ \frac{9}{15}x + \frac{10}{15}x = x \] \[ \frac{19}{15}x = x \]

Это уравнение имеет решение только при x=0, что не соответствует условию (больше 25). Следовательно, условие задачи сформулировано некорректно, так как сумма дробей \[ \frac{3}{5} + \frac{2}{3} = \frac{9+10}{15} = \frac{19}{15} \] больше 1. Это означает, что либо часть учащихся посетила и кино, и выставку, либо это разные группы учащихся, и условие задачи предполагает, что все учащиеся распределены между этими двумя группами, но тогда сумма дробей должна быть равна 1.

Если предположить, что \[ \frac{2}{3} \] - это доля от *оставшихся* учащихся после похода в кино, то:

Пошли в кино: \[ \frac{3}{5}x \]

Осталось: \[ x - \frac{3}{5}x = \frac{2}{5}x \]

Пошли на выставку: \[ \frac{2}{3} \times \frac{2}{5}x = \frac{4}{15}x \]

Тогда общее число учащихся: \[ \frac{3}{5}x + \frac{4}{15}x = x \] \[ \frac{9}{15}x + \frac{4}{15}x = x \] \[ \frac{13}{15}x = x \]

Это также не имеет решения, кроме x=0.

Исходя из предоставленных данных, задача некорректна. Однако, если интерпретировать условие как: «3/5 класса пошли в кино, а 2/3 класса пошли на выставку, причем это могут быть одни и те же учащиеся или разные, и суммарно участвует некоторая часть класса», и при условии, что общее число учащихся - это целое число, которое делится на 5 и на 3 (то есть на 15), и оно больше 25, но меньше 35, то единственное такое число - 30.

Проверим:

Если x = 30:

В кино: \[ \frac{3}{5} \times 30 = 18 \]

На выставку: \[ \frac{2}{3} \times 30 = 20 \]

Сумма: 18 + 20 = 38. Это больше, чем 30, что подтверждает некорректность формулировки, если предполагается, что это непересекающиеся группы.

Если условие задачи означает, что 3/5 класса пошли в кино, а 2/3 класса пошли на выставку, и что общее число учащихся делится на 5 и на 3 (то есть на 15), а количество учащихся больше 25, но меньше 35, то единственным таким числом является 30.

Ответ: 30 учащихся.