1. Соловей месяц поёт.

Грамматическая основа: соловей поёт. Слово месяц — второстепенный член предложения. Предложение грамматически верно, но по смыслу сочетание «месяц поёт» здесь неудачно: если имеется в виду продолжительность пения, лучше сказать «Соловей поёт месяц».