1. Составьте уравнение касательной к графику функции y = -x³- 2x² - 3х + 5 в точке с абсциссой х = -2. 1. Исследуйте функцию на монотонность: a) y = x³ / 3 + 5x² / 2 - 6x + 4; б) y = cos x + 5x. 2. Найдите точки экстремума функции и определите их характер: a) y = x³ + 3x² + 4; б) y = x² / (1 - x).

1. Уравнение касательной:

Нам дана функция \(y = -x^3 - 2x^2 - 3x + 5\) и точка \(x = -2\).

1. Находим значение функции в точке:
• \(y(-2) = -(-2)^3 - 2(-2)^2 - 3(-2) + 5 = -(-8) - 2(4) + 6 + 5 = 8 - 8 + 6 + 5 = 11\)
2. Находим производную функции:
• \(y' = -3x^2 - 4x - 3\)
3. Находим значение производной в точке:
• \(y'(-2) = -3(-2)^2 - 4(-2) - 3 = -3(4) + 8 - 3 = -12 + 8 - 3 = -7\)
4. Составляем уравнение касательной по формуле \(y - y_0 = k(x - x_0)\), где \(k = y'(x_0)\):
• \(y - 11 = -7(x - (-2))\)
• \(y - 11 = -7(x + 2)\)
• \(y - 11 = -7x - 14\)
• \(y = -7x - 3\)

2. Исследование функции на монотонность:

а) \(y = \frac{x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} - 6x + 4\)

1. Находим производную:
• \(y' = \frac{3x^2}{3} + \frac{10x}{2} - 6 = x^2 + 5x - 6\)
2. Приравниваем производную к нулю и находим критические точки:
• \(x^2 + 5x - 6 = 0\)
• \(D = 5^2 - 4(1)(-6) = 25 + 24 = 49\)
• \(x_1 = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2} = \frac{-5 + 7}{2} = 1\)
• \(x_2 = \frac{-5 - \sqrt{49}}{2} = \frac{-5 - 7}{2} = -6\)
3. Определяем интервалы монотонности:
• При \(x < -6\) (например, \(x = -7\)): \(y' = (-7)^2 + 5(-7) - 6 = 49 - 35 - 6 = 8 > 0\) — функция возрастает.
• При \(-6 < x < 1\) (например, \(x = 0\)): \(y' = 0^2 + 5(0) - 6 = -6 < 0\) — функция убывает.
• При \(x > 1\) (например, \(x = 2\)): \(y' = 2^2 + 5(2) - 6 = 4 + 10 - 6 = 8 > 0\) — функция возрастает.

б) \(y = \cos x + 5x\)

1. Находим производную:
• \(y' = -\sin x + 5\)
2. Исследуем знак производной:
• Так как \(-1 \le \sin x \le 1\), то \(-1 \le -\sin x \le 1\).
• Следовательно, \(5 - 1 \le 5 - \sin x \le 5 + 1\), то есть \(4 \le y' \le 6\).
• Производная \(y' = -\sin x + 5\) всегда положительна.
• Значит, функция \(y = \cos x + 5x\) возрастает на всей области определения.

3. Точки экстремума:

а) \(y = x^3 + 3x^2 + 4\)

1. Находим производную:
• \(y' = 3x^2 + 6x\)
2. Приравниваем производную к нулю:
• \(3x^2 + 6x = 0\)
• \(3x(x + 2) = 0\)
• \(x = 0\) или \(x = -2\).
3. Определяем характер точек:
• При \(x < -2\) (например, \(x = -3\)): \(y' = 3(-3)(-3 + 2) = -9(-1) = 9 > 0\) — возрастание.
• При \(-2 < x < 0\) (например, \(x = -1\)): \(y' = 3(-1)(-1 + 2) = -3(1) = -3 < 0\) — убывание.
• Следовательно, в точке \(x = -2\) — локальный максимум.
• При \(x > 0\) (например, \(x = 1\)): \(y' = 3(1)(1 + 2) = 3(3) = 9 > 0\) — возрастание.
• Следовательно, в точке \(x = 0\) — локальный минимум.
• Находим значения функции в точках экстремума:
• \(y(-2) = (-2)^3 + 3(-2)^2 + 4 = -8 + 3(4) + 4 = -8 + 12 + 4 = 8\) (точка максимума: (-2; 8)).
• \(y(0) = 0^3 + 3(0)^2 + 4 = 4\) (точка минимума: (0; 4)).

б) \(y = \frac{x^2}{1 - x}\)

1. Находим производную (используем правило для дроби):
• \(y' = \frac{(x^2)'(1 - x) - x^2(1 - x)'}{(1 - x)^2} = \frac{2x(1 - x) - x^2(-1)}{(1 - x)^2} = \frac{2x - 2x^2 + x^2}{(1 - x)^2} = \frac{2x - x^2}{(1 - x)^2}\)
2. Приравниваем производную к нулю:
• \(rac{2x - x^2}{(1 - x)^2} = 0\)
• \(2x - x^2 = 0\)
• \(x(2 - x) = 0\)
• \(x = 0\) или \(x = 2\).
3. Определяем характер точек:
• Рассмотрим знаки \(y' = \frac{x(2 - x)}{(1 - x)^2}\). Знаменатель \((1 - x)^2\) всегда положителен (кроме \(x=1\), где функция не определена).
• При \(x < 0\) (например, \(x = -1\)): \(y' = \frac{(-1)(2 - (-1))}{(1 - (-1))^2} = \frac{-1(3)}{2^2} = \frac{-3}{4} < 0\) — убывание.
• При \(0 < x < 1\) (например, \(x = 0.5\)): \(y' = \frac{0.5(2 - 0.5)}{(1 - 0.5)^2} = \frac{0.5(1.5)}{0.5^2} = \frac{0.75}{0.25} = 3 > 0\) — возрастание.
• Следовательно, в точке \(x = 0\) — локальный минимум.
• При \(1 < x < 2\) (например, \(x = 1.5\)): \(y' = \frac{1.5(2 - 1.5)}{(1 - 1.5)^2} = \frac{1.5(0.5)}{(-0.5)^2} = \frac{0.75}{0.25} = 3 > 0\) — возрастание.
• При \(x > 2\) (например, \(x = 3\)): \(y' = \frac{3(2 - 3)}{(1 - 3)^2} = \frac{3(-1)}{(-2)^2} = \frac{-3}{4} < 0\) — убывание.
• Следовательно, в точке \(x = 2\) — локальный максимум.
• Находим значения функции в точках экстремума:
• \(y(0) = \frac{0^2}{1 - 0} = 0\) (точка минимума: (0; 0)).
• \(y(2) = \frac{2^2}{1 - 2} = \frac{4}{-1} = -4\) (точка максимума: (2; -4)).