1. \(\sqrt[3]{7 \frac{1}{2}} \cdot \sqrt[3]{4 \frac{2}{5}} \cdot \sqrt[3]{12} = ?\)

Решение:

Чтобы упростить выражение, воспользуемся свойством корней \( \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b} \). Сначала переведем смешанные числа в неправильные дроби:

\( 7 \frac{1}{2} = \frac{7 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{15}{2} \)

\( 4 \frac{2}{5} = \frac{4 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{22}{5} \)

Теперь подставим эти значения в исходное выражение:

\[ \sqrt[3]{\frac{15}{2}} \cdot \sqrt[3]{\frac{22}{5}} \cdot \sqrt[3]{12} = \sqrt[3]{\frac{15}{2} \cdot \frac{22}{5} \cdot 12} \]

Умножим дроби под корнем:

\[ \frac{15}{2} \cdot \frac{22}{5} \cdot 12 = \frac{15 \cdot 22 \cdot 12}{2 \cdot 5} \]

Сократим числитель и знаменатель:

\[ \frac{(3 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 11) \cdot (2 \cdot 6)}{2 \cdot 5} = 3 \cdot 11 \cdot 2 \cdot 6 = 3 \cdot 11 \cdot 12 \]

Вычислим результат умножения:

\[ 3 \cdot 11 \cdot 12 = 33 \cdot 12 \]

\( 33 \cdot 12 = 33 \cdot (10 + 2) = 330 + 66 = 396 \)

Таким образом, выражение принимает вид:

\[ \sqrt[3]{396} \]

Число 396 не является полным кубом целого числа, поэтому ответ остается в таком виде.

Ответ: \( \sqrt[3]{396} \).