1) $(\sqrt[3]{7}-\sqrt[3]{4})(\sqrt[3]{49}+\sqrt[3]{28}+\sqrt[3]{16})$; 2) $(\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{10}+\sqrt[3]{25})(\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{5})$. Упростить выражение (114—117). 114: 1) $\frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{\sqrt[4]{x}-\sqrt[4]{y}}-\frac{\sqrt{x}+\sqrt[4]{xy}}{\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{y}}$; 2) $\frac{x-y}{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{y}}-\frac{x+y}{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}}$; 3) $\frac{\sqrt{x}-\sqrt[3]{y^2}}{\sqrt[4]{x}+\sqrt[3]{y}}+\sqrt[3]{y}$; 4) $\frac{x\sqrt{x}-y\sqrt{y}}{x\sqrt{y}-y\sqrt{x}}-1$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 1) $(\sqrt[3]{7}-\sqrt[3]{4})(\sqrt[3]{49}+\sqrt[3]{28}+\sqrt[3]{16})$; 2)…$ Фото задания

1) $(\sqrt[3]{7}-\sqrt[3]{4})(\sqrt[3]{49}+\sqrt[3]{28}+\sqrt[3]{16})$; 2) $(\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{10}+\sqrt[3]{25})(\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{5})$. Упростить выражение (114—117). 114: 1) $\frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{\sqrt[4]{x}-\sqrt[4]{y}}-\frac{\sqrt{x}+\sqrt[4]{xy}}{\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{y}}$; 2) $\frac{x-y}{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{y}}-\frac{x+y}{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}}$; 3) $\frac{\sqrt{x}-\sqrt[3]{y^2}}{\sqrt[4]{x}+\sqrt[3]{y}}+\sqrt[3]{y}$; 4) $\frac{x\sqrt{x}-y\sqrt{y}}{x\sqrt{y}-y\sqrt{x}}-1$.

Accepted Answer

На изображении видны два выражения перед заголовком и задание 114 с четырьмя подпунктами. Решения:

Перед заголовком, 1)

Положим $a=\sqrt[3]{7}$, $b=\sqrt[3]{4}$. Тогда $a^3=7$, $b^3=4$, и применяем тождество $(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$.

Поскольку $a^2=\sqrt[3]{49}$, $ab=\sqrt[3]{28}$, $b^2=\sqrt[3]{16}$, получаем $(\sqrt[3]{7}-\sqrt[3]{4})(\sqrt[3]{49}+\sqrt[3]{28}+\sqrt[3]{16})=7-4=3$.

Перед заголовком, 2)

Положим $a=\sqrt[3]{2}$, $b=\sqrt[3]{5}$. Тогда $a^3=2$, $b^3=5$, а $\sqrt[3]{4}=a^2$, $\sqrt[3]{10}=ab$, $\sqrt[3]{25}=b^2$.

По формуле $(a^2-ab+b^2)(a+b)=a^3+b^3$: $(\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{10}+\sqrt[3]{25})(\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{5})=2+5=7$.

114. 1)

Обозначим $a=\sqrt[4]{x}$, $b=\sqrt[4]{y}$. Тогда $\sqrt{x}=a^2$, $\sqrt{y}=b^2$, $\sqrt[4]{xy}=ab$.

$\frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{\sqrt[4]{x}-\sqrt[4]{y}}=\frac{a^2-b^2}{a-b}=a+b$.

$\frac{\sqrt{x}+\sqrt[4]{xy}}{\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{y}}=\frac{a^2+ab}{a+b}=a$.

Разность равна $a+b-a=b$, то есть $\sqrt[4]{y}$.

Ответ: $\sqrt[4]{y}$.

114. 2)

Положим $a=\sqrt[3]{x}$, $b=\sqrt[3]{y}$. Используем разложения $x-y=a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ и $x+y=a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$.

Тогда выражение равно $(a^2+ab+b^2)-(a^2-ab+b^2)=2ab$.

Ответ: $2\sqrt[3]{xy}$.

114. 3)

Обозначим $a=\sqrt[4]{x}$, $b=\sqrt[3]{y}$. Тогда $\sqrt{x}=a^2$, $\sqrt[3]{y^2}=b^2$. Первую дробь преобразуем как разность квадратов:

$\frac{a^2-b^2}{a+b}+b=\frac{(a-b)(a+b)}{a+b}+b=a-b+b=a$.

Ответ: $\sqrt[4]{x}$.

114. 4)

В числителе $x\sqrt{x}-y\sqrt{y}=(\sqrt{x})^3-(\sqrt{y})^3$. В знаменателе $x\sqrt{y}-y\sqrt{x}=\sqrt{x}\sqrt{y}(\sqrt{x}-\sqrt{y})$.

Положим $a=\sqrt{x}$, $b=\sqrt{y}$. Тогда дробь равна $\frac{a^3-b^3}{ab(a-b)}=\frac{(a-b)(a^2+ab+b^2)}{ab(a-b)}=\frac{a}{b}+1+\frac{b}{a}$.

После вычитания 1 получаем $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{x+y}{\sqrt{xy}}$.

Ответ: $\frac{x+y}{\sqrt{xy}}$.

Решения предполагают, что знаменатели выражений определены и не равны нулю; для корней чётной степени также предполагаются допустимые значения подкоренных выражений.