1) \(\sqrt{6 \sqrt{5}+14}-\sqrt{5}\)

Решение:

Для решения данного выражения, попробуем представить подкоренное выражение как квадрат суммы или разности.

Рассмотрим выражение под корнем: \( 6 \sqrt{5}+14 \).

Мы хотим найти такие \(a\) и \(b\), чтобы \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = 6 \sqrt{5}+14 \) или \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 = 6 \sqrt{5}+14 \).

Предположим, что \( 2ab = 6 \sqrt{5} \) и \( a^2+b^2 = 14 \).

Из \( 2ab = 6 \sqrt{5} \) следует, что \( ab = 3 \sqrt{5} \).

Рассмотрим возможные пары \(a\) и \(b\) из \( ab = 3 \sqrt{5} \):

• Если \( a=3 \) и \( b=\sqrt{5} \), то \( a^2+b^2 = 3^2 + (\sqrt{5})^2 = 9 + 5 = 14 \). Это совпадает с нашим условием.
  
• Если \( a=\sqrt{5} \) и \( b=3 \), то \( a^2+b^2 = (\sqrt{5})^2 + 3^2 = 5 + 9 = 14 \). Это также совпадает.
  

Таким образом, \( 6 \sqrt{5}+14 = (3+\sqrt{5})^2 \).

Теперь подставим это обратно в исходное выражение:

\[ \sqrt{(3+\sqrt{5})^2} - \sqrt{5} \]

Так как \( 3+\sqrt{5} > 0 \), то \( \sqrt{(3+\sqrt{5})^2} = 3+\sqrt{5} \).

Тогда выражение принимает вид:

\[ (3+\sqrt{5}) - \sqrt{5} = 3 \]

Ответ: 3