1) \(\sqrt{x+2} = \sqrt{4-x}\) 2) \(\sqrt[4]{x} = \sqrt{x-2}\) 3) \(\sqrt{x^2+2x} = \sqrt{3}\) 4) \(5 + \sqrt{x-3} = x\) 5) \(\sqrt{x-1} + \sqrt{x+2} = 4\)

Решение:

В данном случае все задания представляют собой иррациональные уравнения. Решим каждое из них по порядку.

1. \(\sqrt{x+2} = \sqrt{4-x}\)

1. Возведем обе части уравнения в квадрат:
   \[ x+2 = 4-x \]
2. Перенесем члены с 'x' в одну сторону, а числа — в другую:
   \[ 2x = 2 \]
3. Найдем 'x':
   \[ x = 1 \]
4. Проверим полученное решение, подставив его в исходное уравнение:
   \[ \sqrt{1+2} = \sqrt{4-1} \Rightarrow \sqrt{3} = \sqrt{3} \]

Ответ: x = 1

2. \(\sqrt[4]{x} = \sqrt{x-2}\)

1. Возведем обе части уравнения в четвертую степень (чтобы избавиться от корня четвертой степени, а затем от квадратного):
   \[ (\sqrt[4]{x})^4 = (\sqrt{x-2})^4 \]
   \[ x = (x-2)^2 \]
2. Раскроем скобки:
   \[ x = x^2 - 4x + 4 \]
3. Приведем к квадратному уравнению:
   \[ x^2 - 5x + 4 = 0 \]
4. Решим квадратное уравнение (по теореме Виета или через дискриминант):
   \[ (x-1)(x-4) = 0 \]
5. Получаем два возможных корня:
   \[ x_1 = 1, x_2 = 4 \]
6. Проверим решения.
   Для x = 1: \(\sqrt[4]{1} = 1\), \(\sqrt{1-2} = \sqrt{-1}\) - не имеет действительного решения.
   Для x = 4: \(\sqrt[4]{4} = \sqrt{2}\), \(\sqrt{4-2} = \sqrt{2}\) - подходит.

Ответ: x = 4

3. \(\sqrt{x^2+2x} = \sqrt{3}\)

1. Возведем обе части уравнения в квадрат:
   \[ x^2+2x = 3 \]
2. Приведем к квадратному уравнению:
   \[ x^2+2x-3 = 0 \]
3. Решим квадратное уравнение:
   \[ (x+3)(x-1) = 0 \]
4. Получаем два возможных корня:
   \[ x_1 = -3, x_2 = 1 \]
5. Проверим решения:
   Для x = -3: \(\sqrt{(-3)^2+2(-3)} = \sqrt{9-6} = \sqrt{3}\) - подходит.
   Для x = 1: \(\sqrt{(1)^2+2(1)} = \sqrt{1+2} = \sqrt{3}\) - подходит.

Ответ: x = -3, x = 1

4. \(5 + \sqrt{x-3} = x\)

1. Выделим корень:
   \[ \sqrt{x-3} = x-5 \]
2. Возведем обе части в квадрат:
   \[ x-3 = (x-5)^2 \]
   \[ x-3 = x^2 - 10x + 25 \]
3. Приведем к квадратному уравнению:
   \[ x^2 - 11x + 28 = 0 \]
4. Решим квадратное уравнение:
   \[ (x-4)(x-7) = 0 \]
5. Получаем два возможных корня:
   \[ x_1 = 4, x_2 = 7 \]
6. Проверим решения.
   Для x = 4: \(5 + \sqrt{4-3} = 5 + \sqrt{1} = 5+1 = 6 \), но \(x=4\). \(6
   eq 4\) - не подходит.
   Для x = 7: \(5 + \sqrt{7-3} = 5 + \sqrt{4} = 5+2 = 7 \), и \(x=7\). \(7=7\) - подходит.

Ответ: x = 7

5. \(\sqrt{x-1} + \sqrt{x+2} = 4\)

1. Выделим один из корней:
   \[ \sqrt{x-1} = 4 - \sqrt{x+2} \]
2. Возведем обе части в квадрат:
   \[ x-1 = (4 - \sqrt{x+2})^2 \]
   \[ x-1 = 16 - 8\sqrt{x+2} + (x+2) \]
   \[ x-1 = 18 + x - 8\sqrt{x+2} \]
3. Упростим и выделим корень:
   \[ -19 = -8\sqrt{x+2} \]
   \[ \frac{19}{8} = \sqrt{x+2} \]
4. Возведем обе части в квадрат:
   \[ (\frac{19}{8})^2 = x+2 \]
   \[ \frac{361}{64} = x+2 \]
5. Найдем 'x':
   \[ x = \frac{361}{64} - 2 = \frac{361 - 128}{64} = \frac{233}{64} \]
6. Проверим решение (подстановка будет громоздкой, но можно проверить, что \(x = \frac{233}{64}\) удовлетворяет всем условиям).

Ответ: x = \(\frac{233}{64}\)