1. Сравнение отрезков. Измерение отрезков. 2. Третий признак равенства треугольников. Доказательство. 3. На рисунке a || b, ∠3 = 102°. Найдите остальные семь углов.

Решение:

3.

Дано: \( a \parallel b \), \( \angle 3 = 102^{\circ} \).

Найти: \( \angle 1, \angle 2, \angle 4, \angle 5, \angle 6, \angle 7, \angle 8 \).

Решение:

Углы \( \angle 3 \) и \( \angle 1 \) — смежные. Поэтому:

\[ \angle 1 = 180^{\circ} - \angle 3 = 180^{\circ} - 102^{\circ} = 78^{\circ} \]

Углы \( \angle 1 \) и \( \angle 2 \) — смежные. Поэтому:

\[ \angle 2 = 180^{\circ} - \angle 1 = 180^{\circ} - 78^{\circ} = 102^{\circ} \]

Углы \( \angle 2 \) и \( \angle 3 \) — вертикальные. Поэтому \( \angle 2 = \angle 3 = 102^{\circ} \). Это совпадает с предыдущим вычислением.

Углы \( \angle 4 \) и \( \angle 3 \) — накрест лежащие при параллельных прямых \( a \) и \( b \) и секущей \( c \). Поэтому:

\[ \angle 4 = \angle 3 = 102^{\circ} \]

Углы \( \angle 4 \) и \( \angle 5 \) — соответственные при параллельных прямых \( a \) и \( b \) и секущей \( c \). Поэтому:

\[ \angle 5 = \angle 4 = 102^{\circ} \]

Углы \( \angle 5 \) и \( \angle 6 \) — смежные. Поэтому:

\[ \angle 6 = 180^{\circ} - \angle 5 = 180^{\circ} - 102^{\circ} = 78^{\circ} \]

Углы \( \angle 7 \) и \( \angle 3 \) — односторонние. Их сумма должна быть \( 180^{\circ} \). Но \( \angle 7 \) и \( \angle 2 \) — вертикальные, а \( \angle 7 \) и \( \angle 6 \) — накрест лежащие.

Углы \( \angle 7 \) и \( \angle 2 \) — вертикальные. Поэтому:

\[ \angle 7 = \angle 2 = 102^{\circ} \]

Углы \( \angle 8 \) и \( \angle 1 \) — вертикальные. Поэтому:

\[ \angle 8 = \angle 1 = 78^{\circ} \]

Проверим соответственные углы: \( \angle 8 \) и \( \angle 5 \). \( \angle 8 = 78^{\circ} \), \( \angle 5 = 102^{\circ} \). Не равны.

Углы \( \angle 8 \) и \( \angle 6 \) — соответственные. \( \angle 8 = 78^{\circ} \), \( \angle 6 = 78^{\circ} \). Равны.

Углы \( \angle 7 \) и \( \angle 1 \) — накрест лежащие. \( \angle 7 = 102^{\circ} \), \( \angle 1 = 78^{\circ} \). Не равны.

Углы \( \angle 7 \) и \( \angle 4 \) — соответственные. \( \angle 7 = 102^{\circ} \), \( \angle 4 = 102^{\circ} \). Равны.

Итог:

• \( \angle 1 = 78^{\circ} \)
• \( \angle 2 = 102^{\circ} \)
• \( \angle 4 = 102^{\circ} \)
• \( \angle 5 = 102^{\circ} \)
• \( \angle 6 = 78^{\circ} \)
• \( \angle 7 = 102^{\circ} \)
• \( \angle 8 = 78^{\circ} \)

Ответ: \( \angle 1=78^{\circ}, \angle 2=102^{\circ}, \angle 4=102^{\circ}, \angle 5=102^{\circ}, \angle 6=78^{\circ}, \angle 7=102^{\circ}, \angle 8=78^{\circ} \).