1) Сторона AC треугольника ABC параллельна плоскости α, а стороны AB и BC пересекаются с этой плоскостью в точках M и N. Докажите, что треугольники ABC и MBN подобны.

Поскольку точки A, B, C не лежат на одной прямой, они задают плоскость треугольника ABC. Эта плоскость пересекает плоскость α по прямой MN: точки M и N принадлежат обеим плоскостям.

По условию AC параллельна плоскости α. Прямая AC лежит в плоскости ABC, поэтому она параллельна линии пересечения плоскостей ABC и α, то есть MN. Следовательно, AC ∥ MN.

Так как M лежит на AB, а N лежит на BC, угол ABC равен углу MBN. Из AC ∥ MN следует равенство углов BAC и BMN. Значит, треугольники ABC и MBN подобны по двум углам; соответствие вершин: A ↔ M, B ↔ B, C ↔ N.

Ответ: △ABC ∼ △MBN.