1 Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 6 см. Боковая грань образует с основанием угол в 60°. Найдите объем и полную поверхность пирамиды.

Решение:

1. Находим апофему боковой грани (l):

В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат. Высота пирамиды (h), апофема (l) и половина стороны основания (a/2) образуют прямоугольный треугольник. Угол между боковой гранью и основанием равен 60°.

Сторона основания \( a = 6 \) см.

Половина стороны основания \( \frac{a}{2} = \frac{6}{2} = 3 \) см.

Тангенс угла 60° равен отношению противолежащего катета (высоты пирамиды) к прилежащему катету (половине стороны основания):

\( \tan(60^{\circ}) = \frac{h}{a/2} \)

\( h = \frac{a}{2} \tan(60^{\circ}) = 3 \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{3} \) см.

2. Находим объем пирамиды (V):

Площадь основания пирамиды (S_осн) равна площади квадрата:

\( S_{осн} = a^2 = 6^2 = 36 \) см².

Объем пирамиды вычисляется по формуле:

\( V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h \)

\( V = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 3\sqrt{3} = 36\sqrt{3} \) см³.

3. Находим площадь полной поверхности пирамиды (S_полн):

Площадь полной поверхности равна сумме площади основания и площади боковой поверхности.

\( S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} \)

Сначала найдем апофему боковой грани (l), используя теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике, образованном высотой пирамиды, апофемой и половиной стороны основания:

\( l^2 = h^2 + (a/2)^2 \)

\( l^2 = (3\sqrt{3})^2 + 3^2 = (9 \cdot 3) + 9 = 27 + 9 = 36 \)

\( l = \sqrt{36} = 6 \) см.

Площадь боковой поверхности (S_бок) равна сумме площадей четырех одинаковых треугольников:

\( S_{бок} = 4 \cdot \frac{1}{2} a \cdot l = 2 \cdot a \cdot l \)

\( S_{бок} = 2 \cdot 6 \cdot 6 = 72 \) см².

Теперь найдем площадь полной поверхности:

\( S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 36 + 72 = 108 \) см².

Ответ: Объем пирамиды равен \( 36\sqrt{3} \) см³, площадь полной поверхности равна 108 см².