1. Сторона равностороннего треугольника равна 2√3. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Привет! Давай разберемся с этой задачей вместе. Здесь нам нужно найти радиус окружности, которая описана вокруг равностороннего треугольника. У нас есть сторона этого треугольника — 2√3.

Что такое равносторонний треугольник? Это треугольник, у которого все стороны равны (у нас это 2√3) и все углы равны 60 градусам.

Что такое описанная окружность? Это окружность, которая проходит через все вершины треугольника. Центр такой окружности находится в точке пересечения серединных перпендикуляров.

Как найти радиус?

Есть формула, которая связывает сторону равностороннего треугольника (a) и радиус описанной окружности (R):

\[ R = \frac{a}{\sqrt{3}} \]

В нашем случае, a = 2√3. Подставим это значение в формулу:

\[ R = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \]

Теперь мы можем сократить √3 в числителе и знаменателе:

\[ R = 2 \]

А теперь давай проверим, почему это так работает.

В равностороннем треугольнике центр описанной окружности (O) совпадает с центром вписанной окружности и с точкой пересечения медиан (и биссектрис, и высот — все они в равностороннем треугольнике совпадают). Медиана делит сторону пополам, а центр вписанной окружности делит медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Пусть a — сторона треугольника, h — высота (она же медиана), R — радиус описанной окружности, r — радиус вписанной окружности.

Высота равностороннего треугольника находится по формуле:

\[ h = \frac{a\sqrt{3}}{2} \]

В нашем случае:

\[ h = \frac{(2\sqrt{3})\sqrt{3}}{2} = \frac{2 \times 3}{2} = 3 \]

Радиус описанной окружности R — это 2/3 высоты:

\[ R = \frac{2}{3} h = \frac{2}{3} \times 3 = 2 \]

Радиус вписанной окружности r — это 1/3 высоты:

\[ r = \frac{1}{3} h = \frac{1}{3} \times 3 = 1 \]

Видишь, оба способа дают одинаковый результат!

Ответ: 2