1. Стороны РК и РА треугольника РАК равны, PH – его медиана. Найдите углы РНК и АРН, если ∠APK = 134°.

Решение:

1. Так как PH – медиана, то H – середина стороны АК, следовательно, AH = HK.

2. Рассмотрим треугольники ΔРНА и ΔРНК:

• PH – общая сторона.
• AH = HK (по условию, PH – медиана).
• ∠RHA = ∠RHK = 90° (так как PH – высота, перпендикулярная АК).

3. По двум сторонам и углу между ними (2 признак равенства треугольников), ΔРНА = ΔРНК.

4. Из равенства треугольников следует, что ∠APH = ∠KPH.

5. Так как ∠APK = 134°, то ∠APH = ∠KPH = \( \frac{134°}{2} = 67° \).

6. В прямоугольном треугольнике ΔPHK:

• ∠PKH + ∠KPH = 90°
• ∠PKH + 67° = 90°
• ∠PKH = 90° - 67° = 23°

7. Так как ΔРНА = ΔРНК, то ∠PHK = ∠PHA = 90°, что означает, что PH – высота.

8. В прямоугольном треугольнике ΔPHK: ∠PHK = 90°.

9. В прямоугольном треугольнике ΔPHA: ∠PHA = 90°.

10. Угол РНК равен ∠PHK = 90°.

11. Угол АРН равен ∠APH = 67°.

Ответ: ∠РНК = 90°, ∠АРН = 67°.